Symmetrische groep

Cayley-graaf van de symmetrische groep
voortbrengers
 2314
 2341

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is de symmetrische groep van een eindige verzameling met elementen de groep van alle permutaties van .[1] De groepsoperatie is de samenstelling van afbeeldingen. In plaats van wordt de symmetrische groep van ook wel genoteerd als . Aangezien er permutaties zijn van verschillende elementen, is de orde, het aantal elementen van de symmetrische groep gelijk aan .

Iedere permutatiegroep van een verzameling met elementen is een ondergroep van .

De symmetrische groep van alle permutaties van een verzameling met drie elementen, voor het gemak de verzameling {1,2,3}, bestaat uit de volgende zes permutaties:

123, 132, 213, 231, 312, 321

In cykelnotatie zijn dat:

(1)(2)(3), (1)(23), (12)(3), (123), (132) en (13)(2) (de eerste is de identiteit)

Het product van 213 en 312 verkrijgt men door de beide permutaties achter elkaar uit te voeren: 213 o 312 = 321. In cykelnotatie: (12)(132) = (13).

Symmetrische groep versus symmetriegroep

[bewerken | brontekst bewerken]

Het begrip 'symmetrische groep' moet wel worden onderscheiden van het begrip 'symmetriegroep'. Zo is bijvoorbeeld , met 24 elementen, de symmetrische groep van de verzameling hoekpunten van een vierkant, en de dihedrale groep , met 8 elementen, de symmetriegroep van die verzameling. De overige 16 permutaties zijn geen isometrieën.

O is algebraïsch de symmetrische groep , waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus.[2]