Andregradsflate

En andregradsflate er i matematikken definert som løsningsmengden til et kvadratisk polynom med flere ukjente. Den kan betraktes som en hyperflate i et affint rom med en dimensjon som er gitt ved antall ukjente i polynomet. Med to ukjente reduseres denne flaten til et kjeglesnitt i planet. Av den grunn kalles kalles også løsningsmengden med tre ukjente for en kjeglesnittsflate. I det generelle tilfellet med n ukjente gir polynomet opphav til en hyperflate i n dimensjoner og omtales vanligvis som en kvadrikk. Den er et eksempel på en matematisk varietet.

Hvis de n ukjente kalles x₁, x₂, ... , x_n, kan de betraktes som koordinater i det omsluttende, affine rommet. Ligningen som definerer andregradsflaten har da den generelle formen

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c=0}$

der a_ij er elementer i en n × n matrise som man kan anta er symmetrisk. Likedan utgjør b_i komponentene til en n-dimensjonal vektor og c er en konstant. Disse parametrene tar vanligvis verdier som er reelle eller komplekse tall. Ligningen kan derfor skrives på den mer kompakte formen

${\displaystyle x^{T}ax+2x^{T}b+c=0}$

hvor x^T er en linjematrise som er den transponerte av kolonnematrisen x.

I matematiske undersøkelser av egenskapene til andregradsflater er det ofte av interesse å utvide det omsluttende rommet til å være et projektivt rom med koordinater X = (x₀, x₁, x₂, ... , x_n). Det affine rommet kan da avgrenses ved å sette x₀ = 1. Kvadrikken tar da den enda mer kompakte formen

${\displaystyle X^{T}AX=0}$

hvor nå A er en (n + 1)×(n + 1) symmetrisk matrise gitt som

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}}$

I Den opprinnelige ligningen for den tilsvarende hyperflaten fremkommer da ved å benytte at x^T b = b^T x.

Når det omsluttende rommet har n = 3 dimensjoner, representerer løsningsmengden en todimensjonal flate. Ved en diagonalisering vil da den definerende ligningen kunne reduseres til forskjellige normalformer hvorav mange er av formen

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

når den har sitt senter i origo (0,0,0). I det tredimensjonale rommet finnes det 16 slike forskjellige normalformer. De mest interessante er følgende:

Flate	Ligning	Form
Ellipsoide	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2}=1\,}$
Rotasjonsellipsoide eller sfæroide (spesialtilfelle av ellipsoide)	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/b^{2}=1\,}$
Kule (spesialtilfelle av rotasjonsellipsoide)	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}+z^{2}/a^{2}=1\,}$
Elliptisk paraboloide	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}-z=0\,}$
Sirkulær paraboloide (spesialtilfelle av elliptisk paraboloide)	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}-z=0\,}$
Hyperbolsk paraboloide	${\displaystyle x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}-z=0\,}$
Enkappet hyperboloide	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}-z^{2}/c^{2}=1\,}$
Tokappet hyperboloide	${\displaystyle x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}-z^{2}/c^{2}=1\,}$
Kjegle	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}-z^{2}/c^{2}=0\,}$
Elliptisk sylinder	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\,}$
Sirkulær sylinder (spesialtilfelle av elliptisk sylinder)	${\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}/a^{2}=1\,}$
Hyperbolsk sylinder	${\displaystyle x^{2}/a^{2}-y^{2}/b^{2}=1\,}$
Parabolsk sylinder	${\displaystyle x^{2}+2y=0\,}$

• Kvadratisk form

• Silvio Levy, Quadrics in Geometry Formulas and Facts Arkivert 18. juli 2018 hos Wayback Machine., CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, CRC Press, 30. opplag.

• PlanetMath, Quadratic Surfaces.