Black-Scholes

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

• Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
• Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
• Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.

Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.

Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

${\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$

under antagelsene at både driften ${\displaystyle \alpha }$ og volatiliteten ${\displaystyle \sigma }$ er konstante. Videre er "støyen" ${\displaystyle W_{t}}$ en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

• Short-salg er tillatt.
• Det er ingen transaksjonskostnader.
• Markedet er arbitrasje-fritt.
• Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
• Handel foregår kontinuerlig.
• Man kan handle fraksjoner av en aksje.
• Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.

Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen ${\displaystyle S_{0}}$. Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1]^{[død lenke]}.

Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker.

Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

${\displaystyle u_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}u_{xx}+rxu_{x}-xu=0}$

med sluttbetingelsen

${\displaystyle u(x,T)=\max(S-K,0).}$

Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

${\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$

og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at

${\displaystyle V:=V(S,t)=\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}dW_{t}}$

ved bruk av Itôs lemma.

Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og ${\displaystyle n}$ aksjer, og får da følgende:

${\displaystyle \Pi =V+nS}$.

Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall ${\displaystyle dt}$ vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

${\displaystyle d\Pi =dV+ndS.}$

Setter vi nå inn for ${\displaystyle dV}$ og ${\displaystyle dS}$ gitt over finner vi at

${\displaystyle d\Pi =\sigma S\left({\frac {\partial V}{\partial S}}-n\right)dW_{t}+\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}-\alpha nS\right)dt.}$

Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi ${\displaystyle n={\frac {\partial V}{\partial S}}}$ i starten av tidsintervallet ${\displaystyle dt.}$ Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

${\displaystyle d\Pi =\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}$

Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være ${\displaystyle r\Pi dt}$, og vi finner at

${\displaystyle r\Pi dt=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}$

Setter vi nå inn for ${\displaystyle \Pi }$ og ${\displaystyle n}$ finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.}$

Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel^[1] som omhandler denne modellen.