Cavendish-eksperimentet

Det som senere er kjent som Cavendish eksperimentet er en forsøksserie gjennomført i 1797–98 av den britiske vitenskapsmannen Henry Cavendish. Formålet med eksperimentet var å finne en nøyaktig verdi for Jordens tetthet, noe som også kan benyttes for å bestemme tettheten til andre himmellegemer som månen, solen og planetene.

Eksperimentet burde egentlig hett Michell-Cavendish eksperimentet etter John Michell som hadde de grunnleggende ideene til apparaturen som ble brukt og Cavendish som gjennomførte målingene. Dette er det første kjente eksperimentet for å måle gravitasjonskrefter mellom masser i et laboratorium.^[1] Cavendish var den første som gjennomførte målinger som kunne bestemme nøyaktige verdier for gravitasjonskonstanten G og Jordens samlede masse.^{[2] [3]} Dette er imidlertid ikke helt korrekt. Cavendish fremla ikke slike tall, men de kan enkelt regnes ut fra hans resultater. Hans målsetting var å finne en verdi for Jordens gjennomsnittlige tetthet.^[4] Prinsippene for eksperimentet var beskrevet noe før 1783^[5] av geologen John Michell,^[6] som konstruerte en torsjonsvekt som kunne anvendes i eksperimentet. Michell døde imidlertid i 1793 uten å ha fullført arbeidet og ved hans død ble apparaturen overført først til Francis John Hyde Wollaston og senere til Henry Cavendish. Cavendish reparerte og moderniserte apparatet, men holdt seg i det alt vesentlige til Michells opprinnelige grunnkonstruksjon. Deretter gjennomførte Cavendish en rekke målinger med utstyret og publiserte i 1798 sine resultater i Philosophical Transactions of the Royal Society. Av tittelen på hans artikkel: Experiments to determine the Density of the Earth fremgår at det var Jordens tettheten som var hans fokus, ikke måling av gravitasjonskonstanten.^[7]

Det apparatet som Cavendish konstruerte er en torsjonsvekt. Den består av en 1.8 m lang trestav. Denne er opphengt i en streng med en 51 mm diameter 0,73 kg blykule i hver ende. To 300 mm 158 kg store blykuler ble plassert ca. 230 mm unna, opphengt i et eget system.^[8] Apparatet måler den svake gravitasjonskraften som oppstår mellom de små og de store kulene.

De to store kulene ble plassert på passe avstand fra staven i torsjonsvekten. Tiltrekningskraften mellom de store og de små kulene fører til at staven dreies og derved vrir opphengsstrengen. Ytterligere dreiing opphører når torsjonskreftene i strengen oppveier tiltrekningskreftene mellom de små og de store kulene. De store kulene ble vekselvis svingt inn mot de små kulene fra motsatt side. Dette for å nøytralisere eventuelle forskjeller i torsjonsstivheten i strengen for vridning mot høyre og venstre. Når en kjenner dreiemomentet i strengen for en gitt vinkel kunne Cavendish beregne tiltrekningskreftene mellom de to par med masser. Siden Jordens tiltrekning på de små kulene kunne måles direkte ved å veie dem, kunne han regne ut Jordens tetthet ved å benytte Newtons gravitasjonslov. Cavendish fant at Jordens tetthet var 5.448 ± 0.033 ganger tettheten til vann. (Egentlig skrev Cavendish 5.48 ± 0.038 i sin rapport grunnet en banal regnefeil som ble oppdaget i 1821 av F.Baily).^[9]

For å finne strengens torsjonskoeffisient, dvs. momentet som strengen yder mot en gitt vinkel av dreieng, målte Cavendish resonansperioden for staven med de små kulene mens den svingte frem og tilbake. Svingetiden var ca. 7 minutter. Perioden er gitt av torsjonskoeffisienten og stavens treghetsmoment. Når perioden er kjent og treghetsmomentet kan regnes ut fra kulenes avstand og vekt, kan torsjonskoefisienten beregnes. I realiteten var det nær umulig å holde torsjonsvekten i ro, den vil hele tiden svinge frem og tilbake rundt den avstandsverdi en søker.^[10]

Cavendish' utstyr var usedvanlig følsomt og nøyaktig for sin tid.^[9] Den kraften som er involvert ved vridningen av torsjonsvektens streng er meget liten, bare 1.47 x 10^–7 N,^[11] eller 1/50 000 000 av vekten til de små blykulene.^[12] Dette tilsvarer omtrent vekten av et litt stort sandkorn.^[13] For å redusere påvirkningen av temperatur og luftbevegelser plasserte han hele apparaturen i en trekasse, ca. 0,60 m dyp, 3 m bred og 3 m høy plassert i et skur på eiendommen. Gjennom to hull i ytterveggene i skuret brukte han kikkert for å lese av bevegelsen i torsjonsvektens stav. Bevegelsen var i størrelsesorden 4,1 mm.^[14] Cavendish var i stand til å måle denne lille dreiningen med en nøyaktighet bedre enn 1/100 tomme ved å bruke en noniusskala på enden av staven.^[15]

Cavendish' eksperiment ble gjentatt av Reich (1838), Baily (1843), Cornus & Baille (1878) og mange flere. Ingen oppnådde større nøyaktighet før Charles Vernon Boys 97 år senere i 1895. Michells opprinnelig idé og Cavenish' realisering av en torsjonspendel ble den dominerende metode for å måle gravitasjonskonstanten G. De fleste målinger, også i vår tid, er fortsatt basert på varianter av denne. Dette er bakgrunnen for at Cavendish sitt eksperiment er blitt så skjellsettende.^[16]

Det er ikke uvanlig å finne bøker som hevder at formålet med Cavendish' eksperiment var å finne verdien på gravitationskonstanten (G).^{[17] [18] [19] [20] [21]} At dette er en feiltagelse er påpekt av en rekke forfattere.^{[22] [23] [24] [25]} Cavendish eneste mål var å måle Jordens tetthet. Han omtalte dette som: weighing the world (veie verden). Den metoden som Cavendish anvendte for å beregne Jordens tetthet består i å sammenligne den tiltrekning en stor blykule med kjent masse har på en liten blykule, for deretter å sammenligne Jordens tiltrekning av den lille blykulen. Dette kan gjennomføres uten å ha noen numerisk verdi for G.^[23] Gravitasjonskonstanten inngår ikke i Cavendish' rapport og det er ingen indikasjon på at han anså dette som noe mål for sine undersøkelser. En av de første referanser en finner til G er i 1873, 75 år etter Cavendish' sine målinger.^[26]

På Cavendish' tid var ikke G som begrep erkjent som i dag, det vil si som en porsjonalitetskonstant i Newton's lov om generell gravitasjon.^[27] Formålet med målingene av gravitasjonskrefter var utelukkende for å kunne bestemme Jordens tetthet. Dette var en meget etterlengtet verdi for datidens astronomer idet en ut fra kjennskap til Jordens tetthet kunne beregne tettheten av månen, solen og de øvrige planetene.^[28] Det var utført tidligere forsøk på å måle Jordens tetthet, blant annet i Schiehallion-eksperimentet i 1774 av Royal Society.

En ytterligere komplikasjon er det faktum at vitenskapsmenn på midten av 1900-tallet ikke brukte noen spesiell enhet for kraft.^[23] Dette førte til en sammenkobling av begrepet G og Jordens masse og uten at en hadde en klar formening om G som en universell konstant. Cavendish beregnet derfor heller ingen verdi for G. En mulighet for en slik utrengning ligger imidlertid i hans resultater og på slutten av 1800-tallet, da en begynte å erkjenne G som en fundamental konstant, ble den kalkulert med stor nøyaktighet fra Cavendish' resultater, gitt ved:^[29]

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,}$

Dersom en konverterer Cavendish' sine verdier til SI enheter, Blir hans verdi for Jordens tetthet: 5.448 g cm⁻³ som gir: G = 6.74 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻². Denne verdi avviker mindre enn 1% fra det som i dag er den aksepterte verdi: 6.67259 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻².

Denne oppskriften er ikke metoden Cavendish selv brukte, men viser hvordan moderne fysikere ville anvendt hans resultater.^{[30][31] [32]}

Den består av en lett stang som på midten er opphengt i en elastisk tråd eller streng. I hver ende av stangen med lengde L er en masse m. Hver av disse massene er påvirket av to symmetrisk plasserte masser med størrelse M som ligger fast. På grunn av gravitasjonskraften vil de små massene trekkes mot de større. Derved vris den eleastiske strengen en vinkel θ slik at avstanden mellom m og M blir r når systemet er kommet i likevekt. Fra Hookes lov er momentet til opphengsstrengen i torsjonsvekten proporsjonal med vinkelen. De forskjellige begrepene er forklart i prinsippskissen nedenfor.

Momentet kan uttrykkes som κ θ hvor κ er torsjonskoeffisienten. Momentet kan imidlertid også uttrykkes ved produktet av tiltrekningskraften og avstanden til opphengsstrengen. Siden det er to små masser som hver tiltrekkes av en gravitasjonskraften F med en avstand på L/2 fra vektens rotasjonsakse, blir det samlede moment LF = κ θ.

For F kan en ved å bruke Newtons gravitasjonslov innsette for tiltrekningen mellom de store og de små massene. Det gir

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

når en ser bort fra den andre massen M som ligger lenger bort.

For å finne torsjonskoeffisienten κ til opphengsstrengen, målte Cavendish resonansfrekvensen til torsjonsvekta. Periodetiden T kan uttrykkes som

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I/\kappa }}}$

Dersom en antar at massen til trestaven mellom de små blykulene er negslisjerbar, er treghetsmomentet for torsjonssystemet bestemt kun av de to små kulene,

${\displaystyle I=m(L/2)^{2}+m(L/2)^{2}=mL^{2}/2\,}$,

som gir

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

Løser vi denne mhp κ, substituerer inn i (1), og reorganiserer mhp G, får man

${\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}}{MT^{2}}}\theta \,}$

Når denne konstanten er bestemt, kan tiltrekningen av et objekt på Jordens overflate mot Jorden brukes til regne ut Jordens tetthet fra

${\displaystyle \rho _{earth}={\frac {M_{earth}}{4\pi R_{earth}^{3}/3}}={\frac {3g}{4\pi R_{earth}G}}\,}$

som vil gi resultatet til Cavendish.

Begrepsforklaring:
${\displaystyle \theta \,}$	${\displaystyle {\mbox{radians}}\,}$	Torsjonsvektens utsving fra hvilestilling for et gitt moment.
${\displaystyle F\,}$	${\displaystyle {\mbox{N}}\,}$	Gravitasjonskraft (tiltrekning) mellom massene m og M
${\displaystyle G\,}$	${\displaystyle {\mbox{m}}^{3}{\mbox{kg}}^{-1}{\mbox{s}}^{-2}\,}$	Gravitasjonskonstanten
${\displaystyle m\,}$	${\displaystyle {\mbox{kg}}\,}$	Massen til de små blykulene
${\displaystyle M\,}$	${\displaystyle {\mbox{kg}}\,}$	Massen til de store blykulene
${\displaystyle r\,}$	${\displaystyle {\mbox{m}}\,}$	Avstanden mellom (masse)senter av de små og de store blykulene når avstanden er liten nok til at en får utslag på torsjonsvekten.
${\displaystyle L\,}$	${\displaystyle {\mbox{m}}\,}$	Lengden mellom senterne av de små blykulene på torsjonsvekten
${\displaystyle \kappa \,}$	${\displaystyle {\mbox{N}}\,{\mbox{m}}\,{\mbox{radian}}^{-1}\,}$	Torsjonskoefisienten av opphengsstrengen
${\displaystyle I\,}$	${\displaystyle {\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{2}\,}$	Treghetsmomentet for staven med de små kulene
${\displaystyle T\,}$	${\displaystyle {\mbox{s}}\,}$	Svingetiden for torsjonsvektens oscillasjon
${\displaystyle g\,}$	${\displaystyle {\mbox{m}}\,{\mbox{s}}^{-2}\,}$	Tyngdeakselerasjonen eller Jordens tiltrekning (N/kg) på Jordens overflate
${\displaystyle M_{earth}\,}$	${\displaystyle {\mbox{kg}}\,}$	Jordens masse
${\displaystyle R_{earth}\,}$	${\displaystyle {\mbox{m}}\,}$	Jordens radius
${\displaystyle \rho _{earth}\,}$	${\displaystyle {\mbox{kg}}\,{\mbox{m}}^{-3}\,}$	Jordens tetthet

• Schiehallion-eksperimentet

• Boys, C. Vernon (1894). «On the Newtonian constant of gravitation». Nature. 50 (1292): 330–4. doi:10.1038/050571a0. 
• Cavendish, Henry (1798), «Experiments to Determine the Density of the Earth», i: MacKenzie, A. S., Scientific Memoirs Vol.9: The Laws of Gravitation, American Book Co., 1900, ss. 59–105, http://books.google.com/books?id=O58mAAAAMAAJ&pg=PA59  Online copy of Cavendish's 1798 paper, and other early measurements of gravitational constant.
• Clotfelter, B. E. (1987). «The Cavendish experiment as Cavendish knew it». American Journal of Physics. 55: 210 – 213. doi:10.1119/1.15214. Establishes that Cavendish didn't determine G.
• Falconer, Isobel (1999). «Henry Cavendish: the man and the measurement». Measurement Science and Technology. 10: 470 – 477. doi:10.1088/0957-0233/10/6/310. 
• «Gravitation Constant and Mean Density of the Earth». Encyclopaedia Britannica, 11th Ed. 12. The Encyclopaedia Britannica Co. 1910. s. 385–389. 
• Hodges, Laurent (1999). «The Michell-Cavendish Experiment, faculty website, Iowa State Univ.». Arkivert fra originalen 6. september 2017. Besøkt 28. august 2007.  Discusses Michell's contributions, and whether Cavendish determined G.
• Lally, Sean P. (1999). «Henry Cavendish and the Density of the Earth». The Physics Teacher. 37: 34 – 37. doi:10.1119/1.880145. 
• McCormmach, Russell (1996). Cavendish. Philadelphia, Pennsylvania: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-220-1. 
• Poynting, John H. (1894). The Mean Density of the Earth: An essay to which the Adams prize was adjudged in 1893. London: C. Griffin & Co.  Review of gravity measurements since 1740.

• Denne artikkelen inneholder materiale fra Encyclopædia Britannica Eleventh Edition, en publikasjon som nå er offentlig eiendom.

• Sideways Gravity in the Basement, The Citizen Scientist, July 1, 2005, retrieved Aug. 9, 2007. Homebrew Cavendish experiment, showing calculation of results and precautions necessary to eliminate wind and electrostatic errors.
• Measuring Big G, Physics Central, retrieved Aug. 9, 2007. Recent experiment at Univ. of Washington to measure the gravitational constant using variation of Cavendish method.
• The Controversy over Newton's Gravitational Constant, Eot-Wash Group, Univ. of Washington, retrieved Aug. 9, 2007. Discusses current state of measurements of G.
• Model of Cavendish's torsion balance, retrieved Aug. 28, 2007, at Science Museum, London.
• Weighing the Earth – background and experiment