Diracs deltafunksjon

Diracs deltafunksjon med betegnelse δ(x), er en såkalt generalisert funksjon. Den ble innført av den engelske fysiker Paul Dirac i hans grunnleggende arbeid innen kvantemekanikk. Siden har den fått mange andre anvendelser innen moderne naturvitenskap og teknikk. I signalbehandling blir den omtalt som enhetspulsen eller impulsfunksjonen.

Multipliseres deltafunksjonen med en vilkårlig funksjon f(x) og integeres så produktet over hele den reelle tall-linjen, gir det verdien av denne funksjonen i origo,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,\delta (x)f(x)=f(0)}$

Dette integralet kan betraktes som en definisjon av δ(x). I det spesielle tilfellet at f(x) = 1, ser man at integralet av deltafunksjonen alene gir en. Den er null overalt på den reelle tall-linjen unntatt i origo x = 0. I dette punktet må derfor deltafunksjonen ha en uendelig stor verdi. Den kan derfor ikke være noen vanlig funksjon da en som kun eksisterer i et punkt, ikke kan ha et integral forskjellig fra null. Derfor kalles den en generalisert funksjon eller distribusjon.

De fleste av deltafunksjonens egenskaper kan utledes fra integralet som definerer den.^[1] Ved et enkelt skifte av variabel finner man

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (y)\,{\frac {dy}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$

slik at man har

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

Herav følger også at den er en like funksjon δ(-x) = δ(x) som forventet. Videre følger fra definisjonen at xδ(x) = 0 og at

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,\delta (x-a)f(x)=f(a)}$

som sees ved å skifte variabel x → x + a i integralet. Man kan også definere den deriverte av deltafunksjonen ved

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,\delta '(x-a)f(x)=-f'(a)}$

som følger fra integralet over ved en partiell integrasjon.

En videre utvidelse er å betrakte deltafunksjonen av en funksjon g(x). Da vil δ(g(x)) = 0 hvis g(x) ikke har noe røtter. Har den derimot en reell rot i x₀, så vil

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

Det følger fra å skrive g(x) = g(x₀) + g'(x₀)(x - x₀) + ... i nærheten av punktet x₀ hvor g(x₀) = 0. Har g(x) flere slike røtter, så vil

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

Som et eksempel, vil man derfor ha at

${\displaystyle \delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta (x+\alpha )+\delta (x-\alpha ){\Big ]}.}$

Deltafunksjonen kan defineres som en grense av en vanlig funksjon.^[2] På den måten kan man utvikle en bedre forståelse av funksjonen samtidig som man lettere kan demonstrere flere viktige egenskaper som kan benyttes i praktiske anvendelser.

En rektangulær funksjon med bredde ε sentrert om origo, er definert ved

${\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&x<-\epsilon /2,\\1/\epsilon ,&-\epsilon /2<x<\epsilon /2,\\0&x>\epsilon /2.\end{cases}}}$

Integrert over x-aksen gir den opplagt en da det er arealet av dette rektangelet. Nå kan deltafunksjonen defineres som

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}\delta _{\epsilon }(x)}$

og vil ha de ønskede egenskaper. Men den egner seg ikke for nærmere analytiske studier.

En bedre definisjon av deltafunksjonen får man ved å benytte Gauss-funksjonen. Normeres den slik at arealet under denne klokkekurven er en, vil den akkurat ha egenskapene til δ(x) i grensen hvor dens bredde a går mot null. Matematisk betyr det at

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\,e^{-x^{2}/a^{2}}}$

hvor denne grensen er illustrert i animasjonen til høyre. Dette er opplagt en like funksjon δ(x) = δ(-x). Videre sees at δ(αx) = δ(x)/α ved å skalere bredden a med den samme faktoren.

En lignende klokkeform har også Lorentz-funksjonen.^[1] I grensen hvor dens bredde går mot null, finner man igjen deltafunksjonen

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}$

med de ønskede egenskapene.

Denne definisjonen kan også benyttes til å utlede et meget nyttig uttrykk for δ(x). Det følger fra det konvergente integralet

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dke^{ikx-\epsilon |k|}={1 \over ix+\epsilon }-{1 \over ix-\epsilon }={2\epsilon \over x^{2}+\epsilon ^{2}}}$

Nå ved å ta grensen ε → 0 på begge sider, har man at

${\displaystyle \delta (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }\!{dk \over 2\pi }e^{ikx}}$

Integralet på høyre side er ikke lenger helt veldefinert, noe som reflekterer at δ(x) ikke er noen vanlig funksjon.

Ved å for eksempel betrakte et tredimensjonalt rom med kartesiske koordinater, vil et punkt x være angitt ved de tre koordinatene (x,y,z). Man kan da definere en deltafunksjon i dette rommet som δ(x) = δ(x)δ(y)δ(z). For en vilkårlig funksjon f(x), har den nå den fundamentale egenskapen at

${\displaystyle \int \!d^{3}xf(\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')=f(\mathbf {x} ')}$

hvor integralet går over hele rommet. Fra definisjonen i en dimensjon, følger at man i tre dimensjoner kan skrive

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')=\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}}$

Denne funksjonen kan brukes til å matematisk beskrive hva man mener med et punktmasse eller punktladning i fysikken.^[3] For eksempel, hvis man har en punktladning Q liggende i et punkt x', så tilsvarer det en ladningstetthet

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Q\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

Den er null i alle punkt unntatt i punktet x' hvor den formelt nå er uendelig stor. I dette rommet er derfor den totale ladning ∫ d³xρ(x) = Q. Dette er meget nyttig i elektrodynamikken hvor man da kan beskrive effekten av utstrakte ladningsfordelinger som oppbygd av diskrete punktladninger.^[4]

• P. A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, New York (2001).
• J. R. Pierce, An Introduction to Information Theory, Dover Publications, New York (1980).

• E.W. Weisstein, Delta Function, MathWorld.