Generell lineær modell

Den generelle lineære modellen eller multivariat regresjonsmodel er en statistisk lineær modell. Den kan bli skevet som^[1]

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}$

hvor ${\displaystyle Y}$ er en matrise med multivariate målingsserier (hver kolonne er et målingssett på en av de avhengige variablene), ${\displaystyle X}$ er en matrise med observasjoner av uavhengige variabler som kan være en designmatrise (hver kolonne er et sett observasjoner på en av de avhengige variablene), ${\displaystyle B}$ er en matrise som inneholder parametere som vanligvis estimeres og ${\displaystyle U}$ er en matrise som inneholder feil (støy). Feilene er vanligvis antatt å være ukorrelerte på tvers av målinger og følger en multivariat normalforderling. Hvis feilene ikke følger en multivariat normalfordeling kan generaliserte lineære modeller bli brukt for å slakke antakelsene om ${\displaystyle Y}$ og ${\displaystyle U}$.

Den generelle lineære modellen innlemmer flere ulike statistiske modeller: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, vanlig lineær regresjon, t-tester og F-tester. Den generelle lineære modellen er en generalisering av en multippel lineær regresjonsmodell i tilfeller med flere enn en avhengig variabel. Hvis ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle B}$ og ${\displaystyle U}$ var kolonnevektorer ville matriselikningen over forestillt en multippel lineær regresjon.

Hypotesetester med den generelle lineære modellen kan bli gjort på to måter: multivariat eller som flere uavhengige univariate tester. I multivariate tester er ${\displaystyle Y}$s kolonner testet sammen, mens i univariate tester er ${\displaystyle Y}$s kolonner testet separat, i.e. som flere univariate tester med den samme designmatrisen.

Multippel lineær regresjon er en generalisering av en lineær regresjon ved å vurdere flere enn én avhengig variabel, og et spesielt tilfelle i formingen av generelle lineære modeller ved å begrense antallet avhengige variabler til en. Den grunnleggende modellen for lineær regresjon er

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}.}$

I formelen over vurderer vi n observasjoner av en avhengig variabel og p uavhengige variabler. Dermed er ${\displaystyle Y_{i}}$ den ${\displaystyle i}$-ende observasjonen av den avhengige variabelen, ${\displaystyle X_{ij}}$ den ${\displaystyle i}$-ende observasjonen av den ${\displaystyle j}$-ende uavhengige variabelen, ${\displaystyle j=1,2,...,p}$. Verdiene ${\displaystyle \beta _{j}}$ representerer parametrene som skal estimeres, og ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ er den ${\displaystyle i}$-ende uavhengige, identiskfordelte normalfeilen.

En generell lineær modells bruksområde kan for eksempel fremkomme i analysen av hjernescanninger i forskningseksperimenter, hvor ${\displaystyle Y}$ inneholder data fra hjernescannere og ${\displaystyle X}$ inneholder eksperimentelle designvariabler og -forvekslinger. Den er vanligvis testet univariat, og er ofte henvist til som statistisk parameterkartlegging.^[2]

• Bayesiansk multivariat lineær regresjon
• Sammenlikning av generelle og generaliserte lineære modeller

• Christensen, Ronald (2002). Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models (Third utg.). New York: Springer. ISBN 0-387-95361-2. 
• Wichura, Michael J. (2006). The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. s. xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455. 
• Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A., red. (1998). «Applied Regression Analysis». Springer Texts in Statistics. doi:10.1007/b98890.