Nabla-operator

Nabla-operatoren er en matematisk, vektoriell differensialoperator som er representert ved symbolet ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ som kalles nabla. På grunn av innflytelse fra engelsktalende land, blir den ofte også kalt for del-operatoren. Når den virker på en vanlig funksjon, gir den ikke noe annet enn den vanlige deriverte av funksjonen. Derimot for funksjoner av flere variable, som kan beskrive forskjellige felt i fysikken, gir den mer detaljert informasjon om hvordan disse feltene varierer. Virker den for eksempel på en skalar funksjon som lydfeltet, kalles den for gradient og sier noe om hvordan dette feltet varierer i forskjellige retninger. Variasjon av et vektorfelt som det elektriske feltet, kan være mer komplisert. Det gir opphav til to typer deriverte, en divergens og en curl. Kombinerer vi divergens- og gradientoperatoren, oppstår Laplace-operatoren ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ som spiller en viktig rolle i teorien for bølger, Maxwells likninger og mange andre fysiske fenomen.

I et tre-dimensjonalt kartesisk koordinatsystem hvor hvert punkt har koordinater ${\displaystyle (x,y,z)}$, kan nabla defineres som vektoroperatoren

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\mathbf {i} \,{\partial \over \partial x}+\mathbf {j} \,{\partial \over \partial y}+\mathbf {k} \,{\partial \over \partial z}}$

Her er ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ og ${\displaystyle \mathbf {k} }$ basisvektorene i de tre vinkelrette retningene. Operatoren kan også defineres i andre koordinatsystem eller for funksjoner med et større antall variable.

Betrakter vi en skalar funksjon ${\displaystyle f({\boldsymbol {r}})}$ hvor vektoren ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$ angir et punkt i rommet, kan vi nå beregne hvor mye denne skiller seg fra verdien i et infinitesimalt nærliggende punkt ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}+d{\boldsymbol {r}}}$. Differansen mellom funksjonsverdiene i de to punktene er gitt ved

${\displaystyle df=f({\boldsymbol {r'}})-f({\boldsymbol {r}})={\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy+{\partial f \over \partial z}dz}$

når vi bruker metoden med Taylor-rekke. Ved hjelp av nabla-operatoren kan dette forenkles til ${\displaystyle df={\boldsymbol {\nabla }}f\cdot d{\boldsymbol {r}}}$ hvor ${\displaystyle d{\boldsymbol {r}}}$ er den infinitesimale vektoren som forbinder disse to punktene. I tillegg har vi benyttet notasjonen for det vektorielle skalarprodukt. Her er nå vektoren

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} }$

definisjonen av gradienten til funksjonen ${\displaystyle f({\boldsymbol {r}})}$ .

Ser vi på punktene hvor funksjonen har samme verdi, det vi si som oppfyller ligningen ${\displaystyle f({\boldsymbol {r}})=}$ konstant, vil disse beskrive en flate i rommet som vanligvis kalles en ekvipotensialflate. Ligger de to punktene ${\displaystyle f({\boldsymbol {r}})}$ og ${\displaystyle f({\boldsymbol {r}}')}$ som vi betraktet tidligere, begge i denne flaten, så vil i det tilfellet ${\displaystyle df=0}$ . Da vektoren ${\displaystyle d{\boldsymbol {r}}}$ ligger i flaten, må derfor gradienten ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f}$ stå normalt på ekvipotensialflaten. Det skyldes at det vektorielle skalarprodukt er null for vektorer som står vinkelrett på hverandre.

Som et eksempel kan vi betrakte et statisk, elektrisk felt ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} }$. Det er direkte relatert til det tilsvarende elektrostatiske potensialet ${\displaystyle \Phi =\Phi ({\boldsymbol {r}})}$ som er et skalart felt. Sammenhengen er gitt ved ligningen ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$, det vil si at feltet er minus gradienten til potensialet. Det står derfor vinkelrett på ekvipotensialflatene.

For en elektrisk punktladning Q plassert i origo, sier Coulombs lov at feltet i punktet ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ er gitt som

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={Q \over 4\pi \epsilon _{0}r^{2}}\mathbf {e} _{r}}$

hvor ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\boldsymbol {r}}/r}$ er enhetsvektor som peker i retning fra origo til feltpunktet. Potensialet utenfor ladningen er derfor ${\displaystyle \Phi =Q/4\pi \epsilon _{0}r}$ som kalles for Coulomb-potensialet. Man ser herav at nabla-operatoren virker formelt som den vektorielle derivasjonen ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\sim \partial /\partial {\boldsymbol {r}}}$.

Av to vektorer kan vi enten danne et vektorielt skalarprodukt eller et vektorielt kryssprodukt. Da nabla-operatoren har vektoregenskaper, kan den gi to forskjellige deriverte når den virker på et vektorfelt ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}})=A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} }$. Benytter vi det skalare produkt, finner vi divergensen

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

til feltet. Der denne deriverte er stor, varierer feltet raskt i styrke. Det vil være tilfelle hvis det har en kilde hvor det oppstår. Eller det kan tyde på at det har en sluk hvor feltet kan forsvinne.

Maxwells 2. ligning sier at divergensen til det magnetiske feltet er null, i.e. ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {B}}=0}$. Det har derfor ingen kilder. De magnetiske feltlinjer har ikke noe sted å begynne eller slutte, og de må derfor danne lukkede kurver. Dette er ekvivalent med å si at det ikke finnes noen magnetiske monopoler.

Danner man det vektorielle kryssproduktet mellom nabla-operatoren og et vektorfelt ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}})}$, finner man curl til feltet. Denne deriverte kan også eksplisitt uttrykkes ved de deriverte av de forskjellige feltkomponentene når man bruker definisjonen av dette produktet. Enten kan man skrive den som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {k} }$

eller som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right|}$

når man bruker den mer kompakte determinant-notasjonen. Denne deriverte sier noe som hvor kraftig feltvektoren roterer eller hvirvler.

Hvis vektoren ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ er en gradient, er curl til denne gradienten null. Da har man nemlig at ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {\nabla }}f}$ som gir direkte resultatet ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}$.

Et eksempel på dette ser man fra Faraday's induksjonslov ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {E}}=-\partial {\boldsymbol {B}}/\partial t}$. I det statiske tilfellet hvor feltene ikke varierer med tiden, gir den ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {E}}=0}$ som betyr at det elektriske feltet må være en gradient av et skalart felt. Og dette skalare feltet er akkurat det elektriske potensial.

På samme måte er divergensen til curl av en vektor lik null. Dette følger også direkte fra definisjonene ved direkte utregning. Hvis ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}}}$, har man altså automatisk at ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})=0}$. Formelt ser man dette ved å betrakte nabla som en vanlig vektor. Da kan man skrive at ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {A}}\times {\boldsymbol {\nabla }})=({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }})\cdot {\boldsymbol {A}}=}$ da kryssproduktet ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}=0}$. Grunnlaget for invarians under gaugetransformasjoner av Maxwells ligninger for det elektromagnetiske felt følger fra denne identiteten.

Denne kan enklest illustreres ved å betrakte det elektriske feltet ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$. Når dette er konstant, har vi tidligere nevnt at det er gitt som gradienten ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }$ hvor ${\displaystyle \Phi }$ er det elektriske potensialet. Fra Gauss' lov ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {E}}=\rho /\varepsilon _{0}}$ ser man at divergensen til det elektriske vektorfeltet er gitt ved den lokale ladningstettheten ${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})}$. Kombinerer man nå disse to uttrykkene, finner man at ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi =-\rho /\varepsilon _{0}}$. Og dette er nettopp Laplace-operatoren

${\displaystyle \nabla ^{2}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\,+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\,+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$

Uttrykt ved det elektrostatiske potensialet har vi derfor funnet ligningen ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}\Phi =-\rho /\varepsilon _{0}}$. Dette er Poissons differensialligning oppkalt etter den franske matematiker og fysiker Siméon Denis Poisson. Den er ofte lettere å løse enn den tilsvarende Maxwell-ligning for det elektriske feltet. Laplace-operatoren opptrer mange steder i klassisk fysikk, spesielt i bølgeligninger. I kvantemekanikken opptrer den bl.a. i Schrödinger-ligningen.

Når vi betrakter vektorer i kartesisk koordinatsystem, kan Laplace-operatoren virke på vektorfelt. Det skjer når vi beregner curl av en curl. Ved å følge definisjonene og regne ut de deriverte, finner man da at resultatet kan skrives som

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {A}})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}}$

Dette følger også mer direkte ved å betrakte nabla som en vanlig vektor og så benytte det vektorielle trippelproduktet. I det siste leddet opptrer Laplace-operatoren hvor den virker på hver av komponentene til vektorfeltet. Denne identiteten kan brukes til å utlede bølgeligningen for det elektromagnetiske feltet slik den følger fra Maxwells ligninger.

• E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, Generell fysikk, bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 82-15-00006-1.
• R. Tambs Lyche, Lærebok i Matematisk Analyse, bind 2, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1958).
• E. Hylleraas, Matematisk og Teoretisk Fysikk, bind 1, Grøndahl & Søns Forlag, Oslo (1950).
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
• D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson Education Inc., San Francisco (2008). ISBN 0-13-919960-8.

• A. Hashemi, Forkurs i matematikk for nye studenter ved UiB, Bergen (2013).
• B. Gjevik og M.W. Fagerland, Feltteori og vektoranalyse, forelesninger og oppgaver i MEK1100 ved UiO, Oslo (2014).