Potens (matematikk)

En potens i matematikken er et tall eller en funksjon uttrykt som en relasjon mellom to tall eller variabler, et grunntall og en eksponent. Man sier at grunntallet er opphøyd i eksponenten. En potens med grunntall b og eksponent n skrives:

${\displaystyle b^{n}}$

Dersom n er et positivt heltall, tilsvarer dette å gange grunntallet med seg selv n ganger, dvs.

${\displaystyle b^{n}=b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}$

der man utfører multiplikasjonen på høyre side n ganger. For eksempel kan man skrive tallet 8 som ${\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}$; her vil ${\displaystyle 2^{3}}$ være en potens og 3 tallets eksponent.

Dersom n er et positivt heltall, defineres ${\displaystyle b^{-n}}$ ved hjelp av brøk, slik at

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

og ${\displaystyle b^{1/n}}$ som n-te-roten av grunntallet,

${\displaystyle b^{1/n}={\sqrt[{n}]{b}}}$

Definisjonen av eksponenter kan utvides til å gjelde for alle reelle og komplekse tall.

En potens med grunntall b og eksponent n, multiplisert med en annen potens med grunntall b og eksponent m:

${\displaystyle b^{n}\cdot b^{m}=b^{n+m}}$

En potens med grunntall b og eksponent n, dividert med en annen potens med grunntall b, og eksponent m:

${\displaystyle {\frac {b^{n}}{b^{m}}}=b^{n-m}}$

Negative eksponenter gir den inverse til tallet opphøyd i eksponenten:

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

for alle b ulik 0

Potens av potens regnes ut ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene:

${\displaystyle (b^{n})^{m}=b^{nm}}$

For generelle eksponenter (strengt tatt av type rasjonale tall) kan en forklare potensfunksjonen som en kombinasjon av heltallig potensiering og heltallig rotberegning:

${\displaystyle b^{0.4}=b^{2/5}={\sqrt[{5}]{b^{2}}}}$

For eksponenter lik null gjelder:

${\displaystyle b^{0}=b^{n-n}={\frac {b^{n}}{b^{n}}}=1}$

for alle b ulik 0

Dersom et tall angis som opphøyd for en funksjon, før argumentet, betegner dette vanligvis enten en invers (for -1) eller at man anvender samme funksjon et visst antall ganger (for et positivt heltall). F.eks. vil man kunne angi den inverse funksjonen av ${\displaystyle f(x)=x}$ som ${\displaystyle f^{-1}(x)=1/x}$ (for x > 0), og funksjonen ${\displaystyle f(f(f(x)))}$ som ${\displaystyle f^{3}(x)}$.

For trigonometriske og hyperbolske funksjoner har slike eksponenter, etter konvensjon, en noe annen betydning: -1 betegner den trigonometriske inverse funksjonen, og et positivt heltall betegner at man opphøyer funksjonen i dette tallet n ganger. F.eks. vil ${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ brukes ekvivalent med ${\displaystyle \arcsin x}$, og ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ ekvivalent med ${\displaystyle (\sin x)^{2}}$. Tilsvarende konvensjon for positive heltall gjelder også for logaritmiske funksjoner, der ${\displaystyle \log ^{2}x}$ vanligvis refererer til ${\displaystyle (\log x)^{2}}$, ikke ${\displaystyle \log \log x}$.

• Eksponensialfunksjon

• (en) Eric W. Weisstein, Exponentiation i MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, Inverse Trigonometric Functions i MathWorld.