Stokastisk prosess

En stokastisk prosess er et matematisk objekt som anvendes for å beskrive tilfeldige (stokastiske) forandringer.

En reell stokastisk prosess ${\displaystyle X}$ er en samling ${\displaystyle X=\{X_{t}\}_{t\in T}}$ av stokastiske variabler ${\displaystyle X_{t}:\Omega \longrightarrow \mathbb {R} ,}$ som er definert i samme sannsynlighetsrom ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$. Hvis indeksmengden ${\displaystyle T}$ er diskret, sier man at ${\displaystyle X}$ er en stokastisk prosess i diskret tid, og dersom indeksmengden er kontinuerlig sier man at ${\displaystyle X}$ er en stokastisk prosess i kontinuerlig tid.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel er et sannsynlighetsmål ${\displaystyle \mu _{t}}$ på Borel sigma-algebraen på mengden av de reelle tallene ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \mu _{t}(A)=P(X_{t}\in A),\qquad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$

De endelig-dimensjonale fordelingene for en stokastisk prosess er mengden ${\displaystyle \{\mu _{(t_{1},\dots ,t_{n})}\}_{t_{1},\dots ,t_{n}\in T,n\geq 1}}$ av alle tenkbare flerdimensjonale sannsynlighetsfordelinger som assosieres med den stokastiske prosessen:

${\displaystyle \mu _{(t_{1},\dots ,t_{n})}(A_{1},\dots ,A_{n})=P(\{X_{t_{1}}\in A_{1}\}\cap \cdots \cap \{X_{t_{n}}\in A_{n}\}),}$

der index ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$ og mengdene ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ for hvert valg av heltallet ${\displaystyle n\geq 1.}$

Assosiert med en stokastisk prosess er dens forventningsverdifunksjon

${\displaystyle m:T\longrightarrow \mathbb {R} }$

og dens kovariansfunksjon

${\displaystyle c:T\times T\longrightarrow \mathbb {R} .}$

Disse defineres av følgende integraler med hensyn på sannsynlighetsmålet ${\displaystyle P}$.

${\displaystyle m(t)=E[X_{t}]=\int _{\Omega }X_{t}(\omega )\,dP(\omega )}$

og

${\displaystyle c(s,t)=E[X_{s}X_{t}]-E[X_{s}]E[X_{t}]}$,

der forventningsverdien ${\displaystyle E[X_{s}X_{t}]}$ beregnes i produktrommet ${\displaystyle (\Omega \times \Omega ,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}},P\times P):}$

${\displaystyle E[X_{s}X_{t}]=\int _{\Omega \times \Omega }X_{s}(\omega )X_{t}(\eta )\,d(P\times P)(\omega ,\eta ).}$

Hvis det viser seg at de endelig-dimensjonale fordelingene for den stokastiske prosessen X er absolutt kontinuerlige med hensyn på Lebesgue-målet, så kan den forventningsverdien over skrives som

${\displaystyle E[X_{t}]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X_{t}}(x)\,dx}$

og

${\displaystyle E[X_{s}X_{t}]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xyf_{(X_{s},X_{t})}(x,y)\,dx\,dy,}$

der funksjonen ${\displaystyle f_{X_{t}}:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ er den Radon-Nikodym-deriverte av sannsynlighetsfordelingen for den stokastiske variabelen ${\displaystyle X_{t}}$ med hensyn på Lebesgue-målet på ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f_{X_{t}}={\frac {d\mu _{t}}{dx}}.}$

Denne deriverte kalles innenfor sannsynlighetsteori og statistikk for den stokastiske variabelens tetthetsfunksjon. På motsatt vis er funksjonen ${\displaystyle f_{X_{s},X_{t}}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ Radon-Nikodym-derivatet

${\displaystyle f_{X_{s},X_{t}}={\frac {\mu _{s,t}}{dxdy}}}$

av sannsynlighetsfordelingen for den to-dimensjonale stokastiske variabelen ${\displaystyle (X_{s},X_{t})}$ med hensyn på Lebesgue-målet i området ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Stokastiske prosesser forekommer ofte i teknisk, økonomisk og finansiell teori.

• (en) Stochastic processes – kategori av bilder, video eller lyd på Commons