Algebra uniwersalna [1] – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych , nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną [2] . Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych . Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną[3] ), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór Ω {\displaystyle \Omega } operacji n -arnych nazywany sygnaturą . Każda struktura algebraiczna (grupoid , półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.
Niech D = ⋃ ⋅ i = 0 n D i {\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}} będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru D {\displaystyle D} nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym d k ∈ D k {\displaystyle d_{k}\in D_{k}} są symbolami działań k {\displaystyle k} -argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór A {\displaystyle A} wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi d k ∈ D k {\displaystyle d_{k}\in D_{k}} k {\displaystyle k} -argumentowego działania ϕ k : A k → A . {\displaystyle \phi _{k}\colon A^{k}\to A.} Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole d k {\displaystyle d_{k}} z działaniami ϕ k . {\displaystyle \phi _{k}.}
Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę F = ( F , μ ) , {\displaystyle {\mathcal {F}}=(F,\mu ),} gdzie F {\displaystyle F} jest zbiorem, a μ : F → N {\displaystyle \mu \colon F\to \mathbb {N} } nazywa się typem algebry . Parę A = ( A , F A ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,F_{A})} nazywa się algebrą typu F {\displaystyle {\mathcal {F}}} jeśli zbiory F A {\displaystyle F_{A}} i F {\displaystyle F} są równoliczne i każdemu f ∈ F {\displaystyle f\in F} odpowiada f A ∈ F A {\displaystyle f_{A}\in F_{A}} taki, że f A : A μ ( f ) → A . {\displaystyle f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.} Element f A {\displaystyle f_{A}} nazywa się działaniem lub operacją μ ( f ) {\displaystyle \mu (f)} -argumentową.
Algebrę G {\displaystyle G} w której D 0 = ∅ , D 1 = ∅ , D 2 = { ∘ } , {\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset ,\ D_{2}=\{\circ \},} a ponadto działanie ∘ {\displaystyle \circ } jest łączne , tzn. dla każdych a , b , c ∈ G {\displaystyle a,b,c\in G} zachodzi
( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) {\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)} nazywa się półgrupą .
Algebrę G {\displaystyle G} w której D 0 = { e } , D 1 = { − 1 } , D 2 = { ∘ } , {\displaystyle D_{0}=\{e\},\ D_{1}=\{^{-1}\},\ D_{2}=\{\circ \},} działanie ∘ {\displaystyle \circ } jest łączne, a ponadto dla każdego a ∈ G {\displaystyle a\in G}
a ∘ e = a , {\displaystyle a\circ e=a,} a ∘ a − 1 = e {\displaystyle a\circ a^{-1}=e} nazywa się grupą .
Krata to algebra A {\displaystyle A} w której D 0 = ∅ , D 1 = ∅ D 2 = { ∨ , ∧ } , {\displaystyle D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset \ D_{2}=\{\lor ,\land \},} a ponadto dla każdych x , y , z ∈ A {\displaystyle x,y,z\in A}
1. x ∧ x = x {\displaystyle x\land x=x} x ∨ x = x {\displaystyle x\lor x=x} 2. ( x ∧ y ) ∧ z = x ∧ ( y ∧ z ) {\displaystyle (x\land y)\land z=x\land (y\land z)} ( x ∨ y ) ∨ z = x ∨ ( y ∨ z ) {\displaystyle (x\lor y)\lor z=x\lor (y\lor z)} 3. x ∧ y = y ∧ x {\displaystyle x\land y=y\land x} x ∨ y = y ∨ x {\displaystyle x\lor y=y\lor x} 4. ( x ∧ y ) ∨ y = y {\displaystyle (x\land y)\lor y=y} ( x ∨ y ) ∧ y = y {\displaystyle (x\lor y)\land y=y}
Podalgebrą algebry A {\displaystyle A} z działaniami F A {\displaystyle F_{A}} nazywa się niepusty zbiór B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} taki, że dla każdego działania ϕ ∈ F A {\displaystyle \phi \in F_{A}} obcięcie ϕ | B {\displaystyle \phi |_{B}} jest działaniem w B . {\displaystyle B.}
Relację równoważności ≡ {\displaystyle \equiv } w algebrze A {\displaystyle A} nazywa się kongruencją jeśli dla każdego d k ∈ D k {\displaystyle d_{k}\in D_{k}} i dla każdych x 1 , … , x k , y 1 , … , y k ∈ A {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A}
x 1 ≡ y 1 ∧ x 2 ≡ y 2 ∧ … ∧ x k ≡ y k ⇒ d k ( x 1 , x 2 , … , x k ) ≡ d k ( y 1 , y 2 , … , y k ) . {\displaystyle x_{1}\equiv y_{1}\wedge x_{2}\equiv y_{2}\wedge \ldots \wedge x_{k}\equiv y_{k}\Rightarrow d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\equiv d_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k}).} Mając kongruencję ≡ {\displaystyle \equiv } w algebrze A {\displaystyle A} można skonstruować algebrę tego samego typu co A . {\displaystyle A.} Niech A / ≡ {\displaystyle A/_{\equiv }} będzie zbiorem ilorazowym . Definiujemy B := A / ≡ {\displaystyle B:=A/_{\equiv }} oraz ϕ ≡ : B k → B {\displaystyle \phi _{\equiv }\colon B^{k}\to B} wzorem
ϕ ≡ ( [ x 1 ] , [ x 2 ] , … , [ x k ] ) := [ ϕ ( x 1 , x 2 , … , x k ) ] {\displaystyle \phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]} dla k {\displaystyle k} -argumentowego działania ϕ . {\displaystyle \phi .} B {\displaystyle B} z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową . Działania ϕ ≡ {\displaystyle \phi _{\equiv }} są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów x 1 , … , x k . {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}.}
Homomorfizmem algebr A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} ze zbiorem symboli D = ⋃ ⋅ i = 0 n D i {\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}} nazywa się funkcję ϕ : A → B {\displaystyle \phi \colon A\to B} taką, że dla każdego d k ∈ D k {\displaystyle d_{k}\in D_{k}} i dla każdych x 1 , x 2 , … , x k ∈ A {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\in A}
ϕ ( d k ( x 1 , x 2 , … , x k ) ) = d k ( ϕ ( x 1 ) , ϕ ( x 2 ) , … , ϕ ( x k ) ) . {\displaystyle \phi (d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}))=d_{k}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}),\dots ,\phi (x_{k})).} ↑ Stanley N. Burris, H.P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra . Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 . Brak numerów stron w książce ↑ А. Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года . Wyd. 1. Наука, 1974, s. 5–10. ↑ Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры . Wyd. 1. Наука, 1983, s. 31–32. Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . (monografia dostępna w sieci) А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года . Wyd. 1. Наука, 1974. Brak numerów stron w książce Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры . Wyd. 1. Наука, 1983. Brak numerów stron w książce główne algebra abstrakcyjna powiązane dyscypliny
działy ogólne według trudności według celu inne
działy czyste działy stosowane powiązane zajęcia