Diagram Cichonia

Diagram Cichonia – diagram złożony dziesięciu liczb kardynalnych, związanych ze strukturą ideałów zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero na prostej rzeczywistej, oraz ze strukturą przestrzeni Baire’a ${\displaystyle {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }}$ (tzn. przestrzeni wszystkich ciągów liczb naturalnych).

Nazwę diagramowi nadał brytyjski matematyk Dawid Fremlin^[1], dla uhonorowania wkładu wrocławskiego matematyka Jacka Cichonia i jego grupy w rozwój tej części teorii mnogości. Należy jednak podkreślić, że ostateczny kształt diagramu jest wynikiem pracy wielu matematyków polskich i zagranicznych. W miarę aktualny stan badań w tej i pokrewnych dziedzin można znaleźć w monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[2]

Dowody nierówności związanych z diagramem Cichonia są bardzo efektywne: mówią o strukturze miary i kategorii więcej, niż wynika to z nierówności pomiędzy odpowiednimi liczbami kardynalnymi. Dlatego rozważa się również wersje diagramu dla własności rozszerzeń modeli teorii mnogości^[3] oraz dla własności pewnych rodzin zbiorów „małych”^[4].

Niech ${\displaystyle I}$ będzie ideałem podzbiorów ${\displaystyle X,}$ do którego należą wszystkie podzbiory jednopunktowe. Definiujemy współczynniki kardynalne ideału ${\displaystyle I}$ następująco:

• ${\displaystyle \mathrm {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}}.}$

  (Innymi słowy, liczba kardynalna add(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I musimy połączyć, aby dostać zbiór nienależący do ideału?”)

• ${\displaystyle \mathrm {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}.}$

  (cov(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, aby pokryć cały zbiór X?”)

• ${\displaystyle \mathrm {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I{\big \}},}$

  (non(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile elementów ma najmniejszy zbiór nie należący do I?”)

• ${\displaystyle \mathrm {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.}$

  (cof(I) jest odpowiedzią na pytanie: „Ile zbiorów należących do ideału I potrzebujemy, by wygenerować cały ideał I?”)

Definiujemy także następujące dwie liczby kardynalne (nazywane liczbą nieograniczoną i liczbą dominującą, odpowiednio):

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},}$

gdzie „${\displaystyle \exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }}$” oznacza „istnieje nieskończenie wiele takich ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} },}$ że” oraz „${\displaystyle \forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }}$” oznacza „dla wszystkich, oprócz skończenie wielu ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ mamy, że”.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ będzie σ-ideałem tych podzbiorów prostej rzeczywistej, które są pierwszej kategorii Baire’a, oraz niech ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ oznacza σ-ideał zbiorów miary Lebesgue’a zero na prostej. Wówczas zachodzą następujące nierówności, gdzie każda strzałka „${\displaystyle \longrightarrow }$” zastępuje znak nierówności „${\displaystyle \leqslant }$”:

		${\displaystyle \mathrm {cov} ({\mathcal {L}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {non} ({\mathcal {K}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {cof} ({\mathcal {K}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {cof} ({\mathcal {L}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
		${\displaystyle {\Bigg \uparrow }}$		${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle {\Bigg \uparrow }}$
				${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$
				${\displaystyle \uparrow }$		${\displaystyle \uparrow }$
${\displaystyle \aleph _{1}}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {add} ({\mathcal {L}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {add} ({\mathcal {K}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {cov} ({\mathcal {K}})}$	${\displaystyle \longrightarrow }$	${\displaystyle \mathrm {non} ({\mathcal {L}})}$

Z powyższym diagramem związane są dwie dodatkowe zależności:

${\displaystyle \mathrm {add} ({\mathcal {K}})=\min\{\mathrm {cov} ({\mathcal {K}}),{\mathfrak {b}}\}}$ oraz

${\displaystyle \mathrm {cof} ({\mathcal {K}})=\max\{\mathrm {non} ({\mathcal {K}}),{\mathfrak {d}}\}.}$

Okazuje się, że każde rozmieszczenie wartości ${\displaystyle \aleph _{1}}$ i ${\displaystyle \aleph _{2}}$ w diagramie, które jest zgodne z nierównościami i powyższymi dwoma równościami jest niesprzeczne z ZFC. Aksjomat Martina implikuje że ${\displaystyle \mathrm {add} ({\mathcal {L}})=2^{\aleph _{0}}}$ (a więc i pozostałe współczynniki są równe ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$), CH oczywiście implikuje że wszystkie liczby w diagramie są równe ${\displaystyle \aleph _{1}.}$