Elipsoida

Elipsoida – powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami^[1]. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią.

Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół jednej z jej osi symetrii; z kolei elipsoidy obrotowe są uogólnieniem sfery^[1].

Równania elipsoidy są najprostsze, gdy jej osie symetrii pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Niech półosie mają długości ${\displaystyle a,b,c.}$

• równanie we współrzędnych kartezjańskich^[1]:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

• równanie parametryczne:

${\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=a\cos u\cos v\\y(u,v)=b\sin v\\z(u,v)=c\sin u\cos v\end{cases}}}$

gdzie:

${\displaystyle u\in \left[-\pi ,\pi \right),}$

${\displaystyle v\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].}$

• równanie biegunowe w układzie współrzędnych sferycznych:

${\displaystyle r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}}$

Elipsoida jest kwadryką, czyli pewną powierzchni drugiego stopnia o równaniu^[2]:

${\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,}$

przy czym (przyjmując ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$):

${\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0,}$

${\displaystyle S\delta =(a_{11}+a_{22}+a_{33})\cdot \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|>0}$

oraz

${\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.}$

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem^[1]:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}$

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

${\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),}$

gdzie:

${\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},}$

${\displaystyle \theta =\arcsin \varepsilon ,}$

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}$

a ${\displaystyle F(\theta ,m)}$ i ${\displaystyle E(\theta ,m)}$ są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

• geoida
• sferoida