Krzywa łańcuchowa

Krzywa łańcuchowa, linia łańcuchowa – krzywa płaska, której kształt przyjmuje doskonale nierozciągliwa i nieskończenie wiotka lina o niezerowej, jednostajnie rozłożonej masie^[1] (tj. o jednorodnej gęstości), swobodnie zwisająca pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym^[2][3][4].

Krzywa łańcuchowa jest przeskalowanym wykresem funkcji cosinusa hiperbolicznego^[5]:

${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right).}$

Linia (krzywa) łańcuchowa jest rozważana w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku obok, symetrycznie względem osi ${\displaystyle OY.}$ Łuk będzie traktowany jak ciało materialne. Zakłada się, że układ jest w stanie równowagi. Łuk ${\displaystyle {\widehat {AP}}}$ podlega działaniom trzech sił ${\displaystyle {\vec {T}},}$ ${\displaystyle {\vec {t}}}$ i ${\displaystyle {\vec {F}},}$ gdzie:

${\displaystyle {\vec {T}}}$ – siła naprężenia łuku w punkcie ${\displaystyle A}$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

${\displaystyle {\vec {t}}}$ – siła naprężenia łuku w punkcie ${\displaystyle P}$ o kierunku stycznej do krzywej w tym punkcie,

${\displaystyle {\vec {F}}}$ – ciężar łuku ${\displaystyle {\widehat {AP}}}$ krzywej.

Korzystając z założenia o stanie równowagi, dostaje się:

${\displaystyle {\vec {t}}+{\vec {T}}+{\vec {F}}=0.}$

Wektory ${\displaystyle {\vec {T}},{\vec {F}}}$ są ortogonalne, więc oznaczając przez ${\displaystyle \alpha }$ kąt między wektorami ${\displaystyle {\vec {t}},{\vec {F}}}$ dostaje się

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\tfrac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {T}}|}}.}$

Ciężar łuku wynosi

${\displaystyle |{\vec {F}}|=q\,l,}$

gdzie:

${\displaystyle l}$ – długość łuku ${\displaystyle {\widehat {AP}},}$

${\displaystyle q}$ – ciężar jednostki długości.

Stąd

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {q}{|{\vec {T}}|}}l={\frac {dy}{dx}}.}$

Ostatecznie dostaje się równanie różniczkowe:

${\displaystyle l=a{\frac {dy}{dx}},\;\;{}}$ gdzie ${\displaystyle {}\;\;a={\frac {|{\vec {T}}|}{q}}.}$

Różniczkując je względem ${\displaystyle x}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {dl}{dx}}=a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

i wykorzystując zależność ${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$ dostaje się:

${\displaystyle {\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}=a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego z warunkami początkowymi ${\displaystyle y(0)=a,\;{\dot {y}}(0)=0.}$

Podstawiając:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p(x),\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dx}},}$

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu pierwszego:

${\displaystyle {\sqrt {1+p^{2}}}=a{\frac {dp}{dx}}\quad \to \quad {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}={\frac {dx}{a}}.}$

Teraz rozdziela się zmienne i całkuje:

${\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int \left({\frac {1}{a}}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (p)={\frac {x}{a}}+C,}$

${\displaystyle p=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C\right).}$

Następnie wraca się do podstawienia:

${\displaystyle p(x)={\frac {dy}{dx}}=\sinh \left({\frac {x}{a}}+C\right),}$

${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}+C\right)+D.}$

Uwzględniając warunki początkowe otrzymuje się ostatecznie

${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right),\quad a={\frac {|{\vec {T}}|}{q}}.}$

Krzywa łańcuchowa znajduje zastosowanie przy badaniu wiszących lin (np. przewodów elektrycznych, lin metalowych).

Wiszącą linę charakteryzują pewne stałe: strzałka ${\displaystyle h}$ (zwana też strzałką zwisu bądź zwisem), rozpiętość ${\displaystyle 2b,}$ minimalne zawieszenie ${\displaystyle a}$ i maksymalne zawieszenie ${\displaystyle d.}$ W zastosowaniach przydatne są pewne zależności między tymi stałymi.

• Wiadomo, że długość linii łańcuchowej w przedziale ${\displaystyle [0,b]}$ jest równa:

${\displaystyle l={\sqrt {d^{2}-a^{2}}},}$

skąd otrzymuje się zależność:

${\displaystyle a={\frac {l^{2}-h^{2}}{2h}}.}$

• Zgodnie z równaniem linii łańcuchowej:

${\displaystyle h+a=a\ \cosh \left({\frac {b}{a}}\right),}$

czyli:

${\displaystyle h=a\ \cosh \left({\frac {b}{a}}\right)-a.}$

Po rozwinięciu prawej strony w szereg Maclaurina otrzymuje się:

${\displaystyle h=a\left(1+{\frac {1}{2!}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{4}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {b^{6}}{a^{6}}}+\ldots \right)-a,}$

${\displaystyle h={\frac {1}{2!}}{\frac {b^{2}}{a}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {b^{4}}{a^{3}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {b^{6}}{a^{5}}}+\dots ,}$

co daje przybliżoną zależność:

${\displaystyle a\approx \left({\frac {b^{2}}{2h}}\right).}$

• W niektórych obliczeniach technicznych linię łańcuchową zastępuje się parabolą. Wynika to z rozwinięcia funkcji ${\displaystyle y=a\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$ w szereg Maclaurina:

${\displaystyle y=a\left(1+{\frac {1}{2!}}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {1}{4!}}{\frac {x^{4}}{a^{4}}}+{\frac {1}{6!}}{\frac {x^{6}}{a^{6}}}+\ldots \right).}$

Dla dostatecznie dużej wartości ${\displaystyle a}$ (dla małej wartości ${\displaystyle h}$) daje dobre przybliżenie linii łańcuchowej parabolą:

${\displaystyle y\approx a+{\frac {x^{2}}{2a}}.}$

Łańcuch wiszącego mostu, podtrzymujący pionowymi linami (wantami) nawierzchnię mostu, ma na ogół kształt paraboli.

Linię łańcuchową wykorzystuje się przy projektowaniu stropów. Strop zwany arkadą ma kształt opisany równaniem:

${\displaystyle y=c\ \cosh \left({\frac {x}{a}}\right).}$

Pierwsze z rozważań o krzywej, która przyjmuje kształt lekkiego, zwisającego łańcucha zamocowanego na końcach, pojawiło się w „Dialogach” Galileusza z 1632 roku. Stwierdził on, iż jest to parabola. Nie podał wywodów, jedynie wyraził powszechnie przyjęte przekonanie, które prawdopodobnie wytworzyło się wiek wcześniej, gdy Leonardo da Vinci szkicował w swych pracach zawieszone łańcuchy. Wygląda na to, że wszyscy, łącznie z Kartezjuszem, milcząco przyjmowali to za prawdę. Stwierdzenie takie pojawiło się w znanym i cenionym podręczniku Simona Stevina z 1634 r. i poręczał je w zamieszczonych w książce komentarzach Albert Girard, który twierdził też, że 17 lat wcześniej zdołał tego dowieść, ale nie miał w owym momencie czasu na zamieszczenie dowodu w książce Stevina.

W 1646 roku Marin Mersenne (matematyk zajmujący się między innymi teorią liczb) dostał list od zamożnego rządowego funkcjonariusza z Niderlandów, znanego też ze swych poematów i kompozycji, Constantina Huygensa. W liście ojciec chwali się swoim zdolnym, 17-letnim synem Christiaanem. Zainteresowany Mersenne napisał do młodzika, a ten już w pierwszym liście oznajmił, że wbrew stwierdzeniu Galileusza, wiszący łańcuch nie tworzy paraboli, lecz podobną do niej krzywą. Mersenne poprosił o pokazanie dowodu i zapytał jak przy pomocy dodatkowych obciążeń (czyli zewnętrznych sił) zmienić kształt krzywej, by przemieniła się ona w ową parabolę. Wkrótce otrzymał odpowiedź z dowodem. Chociaż ta wymiana listów wprowadziła Christiana Huygensa do świata europejskiej nauki, jego dowód, geometryczny i skomplikowany, pozostał na uboczu rozważań przez następne 20 lat.

Inne podejścia do problemu, łatwiejsze do zrozumienia, zyskały uznanie, ale ciągle nie było wyjaśnienia jak opisać kształt owej krzywej. Dopiero w 1691 Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli i 61-letni Christian Huygens opublikowali rozwiązanie w Acta eruditorium^[6]. Huygens zaproponował nazwę, catenaria (łac. catena – łańcuch), czyli linia łańcuchowa, którą zaproponował w 1690 r. w liście do Leibniza.

• geometria analityczna
• rachunek wariacyjny
• traktrysa

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

• portalwiedzy.onet.pl krzywa łańcuchowa
• Wyliczanie krzywej łańcuchowej dla układu mas punktowych połączonych sprężynami lub sztywnymi drążkami. fatcat.ftj.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-10-09)].
• Catenary plot
• the gateway arch is not a parabola
• Hanging With Galileo
• Catenary plot and history