Liczby czworacze

Liczby czworacze – liczby pierwsze mające postać:

${\displaystyle p,\ p+2,\ p+6,\ p+8.}$

Na czwórkę liczb czworaczych składają się dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Jest to najbliższe możliwe sąsiedztwo czterech liczb pierwszych większych od 3. Nie istnieją cztery liczby pierwsze postaci ${\displaystyle p,\ p+2,\ p+4,\ p+6,}$ ponieważ co najmniej jedna z takiej czwórki liczb jest podzielna przez 3, co oznacza, dla ${\displaystyle p>3}$, że nie jest ona liczbą pierwszą (pozostałe przypadki ${\displaystyle p=2}$ i ${\displaystyle p=3}$ łatwo zweryfikować bezpośrednim rachunkiem).

Z wyjątkiem czwórki ${\displaystyle 5,7,11,13,}$ wszystkie liczby czworacze są postaci ${\displaystyle 30n+11,\ 30n+13,\ 30n+17,\ 30n+19,}$ gdzie ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,\ldots \},}$^[1] co wynika z niepodzielności liczb pierwszych większych od 5 przez 2, 3 i 5. Łatwo zauważyć, że ostatnimi cyframi takich liczb czworaczych są odpowiednio: 1, 3, 7 i 9.

Oto wszystkie czwórki liczb czworaczych mniejsze od 200000:

• 5,7,11,13
• 11,13,17,19
• 101,103,107,109
• 191,193,197,199
• 821,823,827,829
• 1481,1483,1487,1489
• 1871,1873,1877,1879
• 2081, 2083, 2087, 2089
• 3251, 3253, 3257, 3259
• 3461, 3463, 3467, 3469
• 5651, 5653, 5657, 5659
• 9431, 9433, 9437, 9439
• 13001, 13003, 13007, 13009
• 15641, 15643, 15647, 15649
• 15731, 15733, 15737, 15739
• 16061, 16063, 16067, 16069
• 18041, 18043, 18047, 18049
• 18911, 18913, 18917, 18919
• 19421, 19423, 19427, 19429
• 21011, 21013, 21017, 21019
• 22271, 22273, 22277, 22279
• 25301, 25303, 25307, 25309
• 31721, 31723, 31727, 31729
• 34841, 34843, 34847, 34849
• 43781, 43783, 43787, 43789
• 51341, 51343, 51347, 51349
• 55331, 55333, 55337, 55339
• 62981, 62983, 62987, 62989
• 67211, 67213, 67217, 67219
• 69491, 69493, 69497, 69499
• 72221, 72223, 72227, 72229
• 77261, 77263, 77267, 77269
• 79691, 79693, 79697, 79699
• 81041, 81043, 81047, 81049
• 82721, 82723, 82727, 82729
• 88811, 88813, 88817, 88819
• 97841, 97483, 97487, 97489
• 99131, 99133, 99137, 99139
• 101111, 101113, 101117, 101119
• 109841, 109843, 109847, 109849
• 116531, 116533, 116537, 116539
• 119291, 119293, 119297, 119299
• 122201, 122203, 122207, 122209
• 135461, 135463, 135467, 135469
• 144161, 144163, 144167, 144169
• 157271, 157273, 157277, 157279
• 165701, 165703, 165707, 165709
• 166841, 166843, 166847, 166849
• 171161, 171163, 171167, 171169
• 187631, 187633, 187637, 187639
• 194861, 194863, 194867, 194869
• 195731, 195733, 195737, 195739