Wielomian symetryczny

Wielomian symetryczny – wielomian ${\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ który po dowolnej permutacji zmiennych ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ dla dowolnie wybranych zmiennych będzie przyjmował takie same wartości, jak przed permutacją.

Niech ${\displaystyle W:=W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ będzie dowolnym wielomianem ${\displaystyle n}$ zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji ${\displaystyle \sigma }$ zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego:

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}\\x_{\sigma (1)}&x_{\sigma (2)}&x_{\sigma (3)}&\ldots &x_{\sigma (n)}\end{pmatrix}}}$

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian ${\displaystyle W_{\sigma }:=W_{\sigma }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$ Jeżeli:

${\displaystyle W_{\sigma }=W}$

dla dowolnej permutacji ${\displaystyle \sigma ,}$ to ${\displaystyle W}$ nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

${\displaystyle S[x_{1},\dots ,x_{n}],}$

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

Następujące wielomiany są symetryczne:

${\displaystyle W(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2},}$

${\displaystyle W(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}+x_{1}+x_{2}+x_{3}.}$

Każdy jednomian postaci ${\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=lx_{1}^{k}x_{2}^{k}\ldots x_{n}^{k},}$ gdzie ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,l\in \mathbb {R} }$ jest symetryczny.

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian ${\displaystyle W}$ nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian ${\displaystyle W_{\sigma }}$ jest różny od wielomianu ${\displaystyle W}$ (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

${\displaystyle W(x_{1},x_{2},x_{3}):=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{2}x_{3}}$

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację ${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{2}&x_{1}&x_{3}\end{pmatrix}}.}$

Otrzymujemy wielomian

${\displaystyle W_{\sigma }(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}=x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}.}$

Współczynnik przy ${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}}$ wynosi 1 dla ${\displaystyle W,}$ ale 0 dla ${\displaystyle W_{\sigma }.}$ Zatem ${\displaystyle W_{\sigma }\neq W,}$ więc wielomian ${\displaystyle W}$ nie jest symetryczny.

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi ${\displaystyle n}$ zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}\leqslant n}x_{i_{1}}\\S_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\\S_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}\\S_{4}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<i_{3}<i_{4}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}x_{i_{4}}\\&\ldots \\S_{n}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})&=\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{n}}\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli ${\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian ${\displaystyle V(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ taki, że

${\displaystyle W(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=V(S_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),S_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,S_{k}(x_{1},x_{2},\dots x_{n})).}$

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów ${\displaystyle S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}}$ można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie. Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)

${\displaystyle V(S_{1},\dots ,S_{n})\mapsto V(S_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,S_{n}(x_{1},\dots ,X_{n}))}$

jest izomorfizmem algebry wielomianowej ${\displaystyle K[S_{1},\dots ,S_{n}]}$ na algebrę wielomianów symetrycznych ${\displaystyle S_{K}[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ (gdzie ${\displaystyle K}$ oznacza ciało współczynników).

Uwaga. Po lewej stronie powyższego przyporządkowania ${\displaystyle S_{j}}$ jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}.}$

Przykłady:

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}-2(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})=S_{1}^{2}-2S_{2},}$

${\displaystyle 5x_{1}x_{2}+5x_{1}x_{3}+5x_{2}x_{3}=5(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})=5S_{2},}$

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=S_{1}^{3}-3S_{2}S_{1}.}$

Jeżeli wielomian ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ (gdzie ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$) ma ${\displaystyle n}$ pierwiastków ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n},}$ to zachodzą wzory Viète’a:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\S_{2}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\&\ldots \\S_{n}(\xi _{1}\dots ,\xi _{n})&=(-1)^{n}\cdot {\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{aligned}}}$

Uwaga. Każdy wielomian stopnia ${\displaystyle n,}$ nad ciałem ${\displaystyle k,}$ ma ${\displaystyle n}$ pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem ${\displaystyle K,}$ będącym rozszerzeniem ciała ${\displaystyle k}$ (ale na ogół wielomian ten nie ma ${\displaystyle n}$ pierwiastków nad samym ciałem ${\displaystyle k}$).

Ze wzorów Viète’a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie. Niech ${\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}}$ będą pierwiastkami wielomianu ${\displaystyle f,}$ stopnia n, nad ciałem ${\displaystyle k}$ (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała ${\displaystyle k}$). Niech ${\displaystyle F}$ będzie wielomianem symetrycznym stopnia ${\displaystyle n,}$ nad tym samym ciałem ${\displaystyle k}$ (może być nad mniejszym). Wtedy

${\displaystyle F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})\in k.}$

• Wielomiany symetryczne Rozdział IX monografii Zasady algebry wyższej autorstwa Wacława Sierpińskiego.