Wzór Panjera

Wzór Panjera – wzór rekurencyjny wprowadzony w 1981 roku przez Harry’ego Panjera^[1] (a następnie uogólniony przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella), służący do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego iż łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa oraz których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

• ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$ – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle f_{j}:=\mathbb {P} (Y=j)\quad {}}$ dla ${\displaystyle {}\;j=0,1,2\dots }$
• ${\displaystyle p_{n}:=\mathbb {P} (N=n)\quad {}}$ dla ${\displaystyle {}\;n=0,1,2\dots }$
• ${\displaystyle X_{n}:=Y_{1}+\ldots +Y_{n}}$ dla nielosowej liczby składników ${\displaystyle n.}$

• ${\displaystyle X=0}$ w przypadku, gdy ${\displaystyle N=0,}$
• ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa
• ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są parami niezależne
• ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots }$ są niezależne od ${\displaystyle N.}$
• ${\displaystyle X=Y_{1}+\ldots +Y_{N}}$
• ${\displaystyle p_{n}=p_{n-1}{\big (}a+{\frac {b}{n}}{\big )}}$ dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n,}$ tzn. dla ${\displaystyle n>n_{0},}$ gdzie ${\displaystyle n_{0}}$ jest pewną liczbą naturalną.

1. ${\displaystyle \mathbb {P} (X=0)={\begin{cases}p_{0}&f_{0}=0\\\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(f_{0})^{n}&f_{0}>0\end{cases}}}$
2. ${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{1-af_{0}}}{\Bigg (}\sum _{j=1}^{k}{\Big (}a+b{\frac {j}{k}}{\Big )}f_{j}\mathbb {P} (X=k-j)+\sum _{n=1}^{m}{\bigg (}p_{n}-{\Big (}a+{\frac {b}{n}}{\Big )}p_{n-1}{\bigg )}\cdot \mathbb {P} (X_{n}=k){\Bigg )}}$

 Osobny artykuł: Rozkład Panjera.

Klasa rozkładów liczby szkód, spełniających założenia wzoru Panjera z ${\displaystyle m=0}$ nazywana jest klasą Panjera, a z ${\displaystyle m>0}$ klasą Sundta-Jewella^[2]. Zgodnie z założeniami pierwszych ${\displaystyle m}$ prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których ${\displaystyle m=0,}$ to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$):

• rozkład Poissona (gdy ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle b>0}$)
• rozkład dwumianowy (gdy ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle b=-a(l+1),}$ ${\displaystyle l=1,2,3,\dots }$)
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy ${\displaystyle a\in (0,1),}$ ${\displaystyle b>-a}$)
• rozkład zdegenerowany ${\displaystyle p_{0}=1}$ (gdy ${\displaystyle b=-a}$)

Wzór Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie wzoru w przypadku ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest jednak wówczas dyskretyzacja takiego rozkładu.

• Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.). Brak numerów stron w książce
• Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.). Brak numerów stron w książce