Zbiór Cantora

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883^[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith^[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ${\displaystyle \aleph _{0}}$).

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego ${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$ liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych ${\displaystyle \langle C_{0},C_{1},C_{2},\dots \rangle ,}$ takich że

${\displaystyle (\otimes )_{n}}$   zbiór ${\displaystyle C_{n}}$ jest sumą ${\displaystyle 2^{n}}$ rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór ${\displaystyle C_{0}}$ to odcinek ${\displaystyle [0,1]}$

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ${\displaystyle (\otimes )_{0}}$). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór ${\displaystyle C_{n}}$ tak, że jest sumą ${\displaystyle 2^{n}}$ rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ${\displaystyle (\otimes )_{n}}$). Każdy z ${\displaystyle 2^{n}}$ odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru ${\displaystyle C_{n}}$ wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc ${\displaystyle C_{n+1}=C_{n}\setminus (I_{1}\cup \ldots \cup I_{2^{n}})}$ (gdzie ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{2^{n}}}$ to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór ${\displaystyle C_{n+1}}$ jest sumą ${\displaystyle 2^{n+1}}$ rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek ${\displaystyle (\otimes )_{n+1}}$ jest spełniony).

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg ${\displaystyle \langle C_{0},C_{1},C_{2},\dots \rangle }$ jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

${\displaystyle C:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}.}$

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać^[3]:

${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{3^{i}}},}$

gdzie ${\displaystyle a_{i}\in \{0,2\}.}$ Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału ${\displaystyle [0,1],}$ dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory ${\displaystyle C_{n},}$ tak że każdy z nich jest sumą ${\displaystyle 2^{n}}$ rozłącznych odcinków domkniętych długości ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{n}.}$ Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory ${\displaystyle C_{n+1}}$ wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na ${\displaystyle C_{n},}$ ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych ${\displaystyle \langle D_{0},D_{1},D_{2},\dots \rangle }$ tak, że każdy zbiór ${\displaystyle D_{n}}$ jest sumą ${\displaystyle 2^{n}}$ rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

${\displaystyle D_{0}=[0,1].}$

Następnie, przypuśćmy, że zbiór ${\displaystyle D_{n}}$ jest już wyznaczony i jest on sumą ${\displaystyle 2^{n}}$ rozłącznych odcinków domkniętych, ${\displaystyle D_{n}=I_{1}\cup \ldots \cup I_{2^{n}}.}$ W centrum każdego z odcinków ${\displaystyle I_{k}}$ wybieramy otwarty pododcinek ${\displaystyle J_{k}}$ długości ${\displaystyle |J_{k}|=2^{-2(n+1)}.}$ Kładziemy ${\displaystyle D_{n+1}=D_{n}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{2^{n}}).}$

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

${\displaystyle D:=\bigcap _{n=0}^{\infty }D_{n}.}$

Trójkowy zbiór Cantora ${\displaystyle C{:}}$

• ma moc continuum
• jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
• jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka ${\displaystyle [0,1],}$
• jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue’a),
• jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots }$ domknięto-otwartych i takich, że ${\displaystyle \lim \mathrm {diam} (P_{n})=0.}$ W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych ${\displaystyle \{0,1\}.}$

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}=0{,}630929754\dots }$

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału ${\displaystyle [0,1).}$ Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora ${\displaystyle D}$ ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}.}$

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

• dywan Sierpińskiego
• funkcja Cantora
• kostka Cantora
• kostka Mengera