Anel de polinômios

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O anel de polinômios com coeficientes em um anel qualquer e qualquer número de indeterminadas é a generalização dos anéis como ${\displaystyle \mathbb {R} [x]\,}$, dos polinômios com coeficientes reais p(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_n xⁿ.

De forma genérica, para definir-se o anel dos polinômios precisa-se:

• um anel A dos coeficientes;
• um conjunto S das indeterminadas.

As indeterminadas aqui tem um significado puramente abstrato, não sendo exigido que S tenha nenhuma estrutura. Assim, é conveniente que S seja um conjunto de símbolos, e (para evitar ambiguidades) que seja disjunto de A.

Um polinômio com coeficientes em A e indeterminadas em S pode ser:

• o polinômio nulo, denominado 0 (exceto quando haja necessidade de fazer alguma diferença entre este polinômio e o elemento neutro de A; neste caso, podem-se usar índices para marcar a diferença entre eles: 0_A e 0_A[S]).
• os monômios, que são representados pela justaposição de um elemento (não-nulo) de A seguido de um número finito de elementos de S (podendo ser nenhum) elevados a uma potência inteira positiva. Por exemplo, se ${\displaystyle 2\in A\,}$ e S = {x, y}, então 2, 2 x¹ e 2 x² y³ são monômios. Aqui é importante notar que os produtos de potências de S comutam, por exemplo, 2 x² y³ = 2 y³ x². Quando a potência for um, representa-se o monômio sem este valor: 2 x² y¹ = 2 x² y.
• uma soma de dois ou mais monômios (mas sempre uma quantidade finita), em que a parte indeterminada de todas parcelas são diferentes. Novamente, esta soma é comutativa, de forma que duas somas que diferem por uma permutação das parcelas são iguais.

O anel de polinômios é este conjunto A[S] com duas operações de soma de polinômios e produto de polinômios, definidas de forma que:

• o polinômio nulo é elemento neutro aditivo
• A[S] é um anel
• o produto de monômios se comporta como se as indeterminadas comutassem entre si, e que o produto de xⁿ e x^m seja x^{n + m}

Existem várias formas equivalentes de criar modelos para A[S], por exemplo o conjunto ${\displaystyle A[S]}$ de todos os objetos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}x_{1}^{k_{i_{1}}}\cdots x_{n}^{k_{i_{n}}}}$,[1]

onde ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in A}$, ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in S}$, cada ${\displaystyle n}$-tupla${\displaystyle (k_{i1},\ldots ,k_{in})}$ de números inteiros positivos é diferente para diferente valor de ${\displaystyle i}$, pode servir de modelo para o anel de polinômios com indeterminadas em ${\displaystyle S}$ sobre ${\displaystyle A}$.

É importante notar que essa expressão é puramente formal, não significando nenhuma operação interna dos elementos de S. No caso particular em que m = 0, temos o polinômio nulo, também representado por 0. No caso particular m = 1, temos um monômio. No caso particular m = 1 e n = 0, temos um elemento de A sendo usado para representar um elemento de A[S].

Os polinômios mais conhecidos são os que têm coeficientes inteiros. Por exemplo, tomando ${\displaystyle A}$ como o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle ~S=\{x,y\}}$, um elemento de ${\displaystyle \mathbb {Z} [S]}$ pode ser

${\displaystyle ~4x^{3}y-5xy^{2}+3y^{3}}$. [2]

Note-se que, se bem que o conjunto de indeterminadas ${\displaystyle S}$ possa ser um conjunto infinito, cada polinômio contém um número finito de termos.

Se ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$, então se pode escrever ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ no lugar de ${\displaystyle A[S]}$. Assim, ${\displaystyle A[x]}$ é um anel de polinômios em uma só indeterminada ${\displaystyle x}$.

Pode notar-se facilmente que cada elemento de ${\displaystyle a\in A}$ é refletido em ${\displaystyle A[S]}$ como o monômio a.

É possível mostrar que A é um sub-anel de A[S] (mais precisamente, A é isomorfo a um sub-anel de A[S]).

Fatos de interesse sobre anéis de polinômios têm que ver com as propriedades do mesmo a partir do anel no que têm seus coeficientes. Por exemplo, quando ${\displaystyle A}$ é um domínio de integridade, ${\displaystyle A[S]}$ também o é, e as unidades de ${\displaystyle A[S]}$ são as mesmas que as de ${\displaystyle A}$. Pelo contrário ${\displaystyle A[S]}$ nunca será um corpo, não importando que ${\displaystyle A}$ o seja ou não, pois ainda que as unidades de ${\displaystyle A[S]}$ sejam as mesmas que as de ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A}$ é tão somente um sub-anel de ${\displaystyle A[S]}$. Entretanto, o anel ${\displaystyle A[S]}$ é um domínio de integridade se ${\displaystyle A}$ o é, logo, dado o caso, se pode construir o corpo de quocientes de ${\displaystyle A[S]}$ (i.e. o corpo de frações de polinômios), que se nota comumente por ${\displaystyle A(S)}$.

Os coeficientes dos polinômios de um anel ${\displaystyle A[S]}$ podem tomar-se não somente como os elementos de ${\displaystyle A}$. Na prática, podemos fazer agrupamentos do tipo

${\displaystyle ~4x^{2}y^{3}-5xy^{2}+2zy=(4x^{2})y^{3}-(5x)y^{2}+2zy}$

e estas também devem fazer-se em um anel de polinômios ${\displaystyle A[S]}$. Para ele se separam os elementos de ${\displaystyle S}$ em dois conjuntos disjuntos, digamos ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle T}$, logo o anel de polinômios ${\displaystyle A[R][T]}$ tem coeficientes no anel de polinômios ${\displaystyle A[R]}$ e indeterminadas em ${\displaystyle T\subset S}$.

Se ${\displaystyle A}$ é um anel e ${\displaystyle R\subseteq S}$, claramente ${\displaystyle A[R]}$ é um sub-anel de ${\displaystyle A[S]}$.

Seja ${\displaystyle A}$ um anel unitário. Todo polinômio não nulo de ${\displaystyle A[x]}$ cujo coeficiente diretor seja uma unidade pode dividir euclidianamente a qualquer outro polinômio de ${\displaystyle A[x]}$ e o grau do resto é estritamente menor que o grau do divisor. Ou seja, se ${\displaystyle D}$ y ${\displaystyle d}$ são polinômios de ${\displaystyle A[x]}$ não nulos, como o coeficiente diretor de ${\displaystyle d}$ uma unidade de ${\displaystyle A}$, então existem polinômios ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle A[x]}$ tais que

${\displaystyle ~D=dc+r}$|med=con|der=${\displaystyle \mathrm {grad} \,r<\mathrm {grad} \,d}$.

Assim, para que a divisão de polinômios seja sempre possível em um anel de polinômios ${\displaystyle A[x]}$, ${\displaystyle A}$ deve ser um corpo (i.e. todo elemento de A deve ser uma unidade), e se assim sucede ${\displaystyle A[x]}$ será um domínio euclidiano. Um fato muito importante é que um anel de polinômios ${\displaystyle A[x]}$ é um domínio de ideais principais (DIP) se e somente se ${\displaystyle A}$ é um corpo. Posto que todos os domínios euclidianos são DIPs, temos que ${\displaystyle A[S]}$ não é um domínio euclidiano se ${\displaystyle S}$ contém mais de um elemento, pois ${\displaystyle A[S]=A[S\setminus \{x\}][x]}$, e ${\displaystyle A[S\setminus \{x\}]}$ nunca é um corpo e portanto tampouco um DIP.

A definição formal dos anéis de polinômios parte da definição dos monômios puros (sem coeficientes em um anel). Note-se que se ${\displaystyle S}$ é um conjunto e, por exemplo, ${\displaystyle x,y,z\in S}$, um monômio a partir de ${\displaystyle S}$ pode ser

${\displaystyle ~x^{2}yz^{3}}$. [3]

No monômio puro anterior, cada um dos elementos ${\displaystyle x,y,z\in S}$ tem um expoente natural. Portanto, podemos considerar a cada monômio com indeterminadas em ${\displaystyle S}$ como uma aplicação ${\displaystyle u:S\longrightarrow \mathbb {N} }$ (aqui e no resto do artigo consideramos que ${\displaystyle \mathbb {N} }$ inclui o zero). O monômio [3] seria entendido então como a aplicação ${\displaystyle u}$ dada por ${\displaystyle u(x)=2}$, ${\displaystyle u(y)=1}$, ${\displaystyle u(z)=3}$ e onde ${\displaystyle u}$ se anula para todos os demais elementos (se estes existem) de ${\displaystyle S}$. Observar que um monômio puro é o produto de um número finito de indeterminadas. Ainda que ${\displaystyle S}$ seja infinito, podemos obter um monômio ${\displaystyle u}$ fazendo que ${\displaystyle u(s)}$ seja nulo para todas aquelas indeterminadas que não queremos que apareçam no monômio. Por exemplo, se ${\displaystyle S=\{x,y,z\}}$, o monômio

${\displaystyle ~x^{4}y^{2}}$ [4]

se corresponde com a aplicação ${\displaystyle u}$ dada por ${\displaystyle u(x)=4}$, ${\displaystyle u(y)=2}$ e ${\displaystyle u(z)=0}$.

Em vista das considerações anteriores, a definição de um conjunto de monômios puros tem de ser a seguinte:

Se ${\displaystyle u,v\in M}$, se definem as aplicações ${\displaystyle ~u+v}$ e ${\displaystyle ~ku}$, onde ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, mediante

${\displaystyle ~(u+v)(s)=u(s)+v(s)}$ e ${\displaystyle ku(s)=k\left(u(s)\right)}$

para todo ${\displaystyle s\in S}$.

Estas aplicações estão bem definidas, e claramente ${\displaystyle u+v\in M}$ e ${\displaystyle ku\in M}$. Vemos pois que se ${\displaystyle u,v}$ são aplicações de ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle u+v}$ se interpreta como o produto dos monômios puros representados por ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$, e se ${\displaystyle k}$ é um número natural, ${\displaystyle ku}$ se interpreta como a potência ${\displaystyle m}$-ésima do monômio puro representado por ${\displaystyle u}$.

Note-se que o monômio puro ${\displaystyle e}$ de ${\displaystyle M}$ que toma constantemente o valor 0 é tal que

${\displaystyle u+e=e+u=u}$ e ${\displaystyle ke=ek=e}$

para todo ${\displaystyle u\in M}$. Assim, este monômio se representa pelo mesmo símbolo 0.

Observe-se que o elemento ${\displaystyle x\in S}$ se interpreta em ${\displaystyle M}$, claramente, como a aplicação ${\displaystyle ~\epsilon _{x}}$ que vale 1 em ${\displaystyle x}$ e 0 em qualquer outro caso. Nestos termos qualquer monômio puro ${\displaystyle u}$ de ${\displaystyle M}$ pode escrever-se como

${\displaystyle u=u(x_{1})\epsilon _{x_{1}}+\cdots +u(x_{n})\epsilon _{x_{n}}}$ [5]

onde ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in S}$ são os elementos de ${\displaystyle S}$ para os quais a aplicação ${\displaystyle u}$ não se anula (por definição, estes elementos são sempre um número finito). Claramente, cada termo

${\displaystyle u(x_{i})\epsilon _{x_{i}}}$ [6]

de [5] representa o fator ${\displaystyle x_{i}^{u(x_{i})}}$ no monômio puro representado por ${\displaystyle u}$. Ou seja, [5] se entende como o monômio puro

${\displaystyle x_{1}^{u(x_{1})}\cdots x_{n}^{u(x_{n})}}$. [7]

Para dar andamento à definição de um anel de polinômios, observemos que um polinômio, como [2], é uma soma finita de monômios puros (pre-)multiplicados por coeficientes em um anel (no caso de [2] os coeficientes são inteiros). Assim, por exemplo, é suficiente associar o polinômio [2] com uma aplicação ${\displaystyle p:M\longrightarrow \mathbb {Z} }$, onde ${\displaystyle S=\{x,y\}}$, tal que ${\displaystyle p}$ toma o valor do coeficiente correspondente quando se valora em um monômio ${\displaystyle u\in M}$.

Em vista disto temos:

Podemos considerar agora os monômios com coeficientes no anel ${\displaystyle A}$ como casos especiais de polinômios. Se ${\displaystyle A}$ é unitário, então podemos considerar o polinômio ${\displaystyle p}$ que vale 1 em ${\displaystyle u}$ e 0 em qualquer outro caso como o próprio monômio puro ${\displaystyle u}$. Para ver-se que, na realidade, tanto ${\displaystyle S}$ como ${\displaystyle A}$ são, do ponto de vista algébrico, um subconjunto de ${\displaystyle A[S]}$ e que efetivamente ${\displaystyle A[S]}$ é um anel que contém ${\displaystyle A}$ como um sub-anel, é necessário definir as operações de anel sobre ${\displaystyle A[S]}$.

A adição sobre ${\displaystyle A[S]}$ claramente pode ser definida assim:

Esta definição se interpreta como a redução dos termos semelhantes (i.e. os coeficientes de um mesmo monômio ${\displaystyle u}$) de ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$. Quando multiplicamos polinômios, costumamos somar os termos semelhantes que surjam no produto para obter um polinômio o mais reduzido possível. Em vista disto, temos a definição da multiplicação em ${\displaystyle A[S]}$:

A respeito das operações de adição e multiplicação, segundo tem sido definidas, o conjunto ${\displaystyle A[S]}$ cumpre com que:

• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, MR1878556, ISBN 978-0-387-95385-4
• Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 196, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1757274, ISBN 978-0-387-98934-1

• «Polynomial rings - PlanetMath» (em inglês) 
• «Polynomial Ring - Wolfram MathWorld» (em inglês) 
• «Polynomial Ring - the class of all ordered monoid rings - www.math.uiuc.edu» (em inglês) 
• «Polynomial Ring - The MathResource» (em inglês) 

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