Catenária

 Nota: Para o mesmo conceito no contexto ferroviário, veja Catenária (caminho de ferro).

Em matemática, catenária é a curva assumida por uma corrente ou cabo flexível suspensa fixada apenas por suas extremidades e sujeita somente à força de seu próprio peso (gravidade). A curva catenária tem um formato semelhante a letra U ou a um arco de parábola e é bastante comum, estando presente, por exemplo, no design de alguns arcos arquitetônicos.

A palavra "catenária" vem do Latim catena,^[1] que significa corrente. Christiaan Huygens foi o pioneiro no uso do termo catenária em uma correspondência com Gottfried Leibniz em 1690.^[2]

O problema de descrever matematicamente a curva catenária foi proposto, oficialmente, por Jakob Bernoulli, que, em 1690 no Acta Eruditorum, periódico científico da época, lançou o desafio: “E agora vamos propor este problema: encontrar a curva formada por um fio pendente, livremente suspenso a partir de dois pontos fixos”.^[3] Anteriormente, Galileu Galilei já havia demonstrado interesse no problema e propôs que a curva, devido a sua aparência, seria aproximadamente uma parábola.^[4] No entanto, em 1646 Christiaan Huygens, aos 17 anos, demonstrou que a catenária não poderia ser uma parábola. Demonstração realizada também por Joachim Jungius em 1627, divulgada, contudo, postumamente, em 1669.^[5][6] As resoluções corretas para o problema, apresentadas por Gottfried Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli, foram publicadas em junho de 1691 no Acta Eruditorum.^[3]

Na arquitetura, o pioneiro a propor a curva catenária no design de arcos foi o cientista Robert Hooke. Motivado pela reconstrução da Catedral de São Paulo, em Londres, buscava o formato ideal para a construção de arcos, feito com a menor quantidade possível de materiais^[7] e com boa estabilidade. Em 1671 anunciou a The Royal Society que havia descoberto a maneira ideal de construir arcos, sem, no entanto, dizer qual seria.^[8] Em 1675, publicou no apêndice do seu livro “A Description of Helioscopes and Some Other Instruments” um anagrama encriptado que revelaria, nas suas palavras, “a verdadeira forma matemática e mecânica para a construção de arcos de todos os tipos”, no entanto, não divulgou a resolução do anagrama enquanto vivo. Somente em 1705, dois anos após seu falecimento, o responsável pelo espólio de Hooke publicou a solução: “Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum”,^[9] o que significa “Assim como uma forma flexível e contínua fica pendurada, quando invertida, permanecerá contiguamente rígida”.

A equação da catenária em coordenadas cartesianas é dada pelo cosseno hiperbólico e a sua equivalente exponencial:^[5][10]

${\displaystyle y=a\cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)}$

na qual o parâmetro ${\displaystyle a={\frac {To}{p}}}$ relaciona a componente horizontal da tensão (${\displaystyle To}$) com o peso por unidade de comprimento ${\displaystyle (p)}$.

A equação de Whewell é:^[5]

${\displaystyle s=a\tan \varphi }$

na qual ${\displaystyle s}$ é o comprimento de arco e ${\displaystyle \varphi }$ o ângulo entre a reta tangente à curva e o eixo ${\displaystyle x}$.

A equação de Cesàro é:^[11]

${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{a^{2}+s^{2}}}}$

na qual ${\displaystyle \kappa }$ é a curvatura.

A equação do raio de curvatura é:

${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi }$

Quando uma parábola rola sem deslizar sobre a reta tangente à sua curva, a rolete traçada pelo seu foco (denominado gerador ou polo) é uma catenária.^[12][13]

A envolvente de uma catenária é uma tractriz.^[14]

Rodas em forma de qualquer polígono regular, com exceção do triângulo, conseguem rolar sem saltar em uma superfície constituída por saliências de catenárias invertidas, desde que as dimensões das catenárias e do polígono sejam coerentes.^[15][16]

A revolução da catenária em torno de um eixo adequado gera a superfície de mínima área catenoide, que é a forma assumida por uma película de água e sabão limitada por dois círculos, demonstração feita por Euler em 1744.^[11]

No problema da catenária existem duas condições importantes: o cabo é considerado flexível, logo as tensões são sempre tangentes a curva, e está em equilíbro, ou seja, as forças resultantes nas direções x e y devem ser nulas. A partir destas duas condições são obtidas as equações que darão início à demonstração matemática.

Considerando, primeiramente, o comprimento de arco ${\displaystyle s}$ entre o ponto mais baixo da curva Po (0,y) e P1 (x,y). Neste pedaço da curva atuam três forças: a tensão To no Po, a tensão T no P1 e a força peso. A To atua somente na direção x, sendo seu vetor definido como (${\displaystyle -To}$,0). A força peso atua somente na direção y, sendo seu vetor definido como (0, -${\displaystyle ps}$), no qual ${\displaystyle p}$ é o peso por unidade de comprimento. A tensão T atua na direção da reta tangente à curva no ponto P1 (devido à flexibilidade do fio) e pode ser decomposta em dois vetores paralelos aos eixos x e y, sendo seu vetor definido como (${\displaystyle T\cos \varphi }$, ${\displaystyle T\operatorname {sen} \varphi }$ ) ou (${\displaystyle Tx}$, ${\displaystyle Ty}$).

Devido à condição de equilíbrio:

Na direção x: ${\displaystyle T\cos \varphi \ +(-To)=0\therefore T\cos \varphi =To}$ (1)

Na direção y: ${\displaystyle T\operatorname {sen} \varphi +(-ps)=0\therefore T\operatorname {sen} \varphi =ps}$(2)

Dividindo a equação (2) pela (1):

${\displaystyle tan\varphi ={\frac {ps}{To}}\longrightarrow {\frac {dy}{dx}}={\frac {ps}{To}}}$ (3)

sendo que é conveniente definir o parâmetro ${\displaystyle a={\frac {To}{p}}}$.

Observação: A solução da equação (3) é a função que descreve a catenária. Para resolvê-la é necessário expressá-la com apenas duas variáveis (x e y(x)) em vez de três (x, y(x) e s(x)) por isso é preciso diferenciar em relação a x e substituir o termo referente ao comprimento de arco.

${\displaystyle {d^{2}y \over dx^{2}}={1 \over a}{ds \over dx}}$ (4)

A partir da fórmula do comprimento de arco tem-se que:

${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}$ (5)

Substituindo a equação (5) na (4):

${\displaystyle y\prime \prime ={1 \over a}{\sqrt {1+(y\prime )^{2}}}}$ (6)

que é uma Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem redutível à primeira ordem através de uma substituição de variáveis.

${\displaystyle y\prime =z(x)}$

${\displaystyle {dz \over dx}={1 \over a}{\sqrt {1+z^{2}}}}$

Separando as variáveis e integrando:

${\displaystyle \int {dz \over {\sqrt {1+z^{2}}}}={1 \over a}\int {dx}}$

obtém-se:

${\displaystyle z+{\sqrt {1+z^{2}}}=\pm e^{\left({\frac {x}{a}}\right)}}$

Como no ponto P1 a derivada ${\displaystyle y'}$ é positiva, o termo ${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{a}}\right)}}$ será positivo.

Isolando ${\displaystyle z}$, ou seja, ${\displaystyle y'}$, e integrando:

${\displaystyle y=\int {{e^{\left({\frac {x}{a}}\right)}-e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)} \over 2}dx}=a\ {e^{\left({\frac {x}{a}}\right)}+e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)} \over 2}+C}$

A constante C pode ser igualada a 0 dependendo da posição do eixo y, portanto:

${\displaystyle y=a\ cosh\left({x \over a}\right)}$.

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Catenária

Uma força aplicada em um ponto qualquer da curva é distribuída igualmente por todo material, proporcionando maior estabilidade à estrutura.^[17] Por isso é amplamente utilizada na construção de arcos arquitetônicos, domos de catedrais e até iglus.^[18] Geralmente, pontes pênseis assumem a forma de uma parábola, embora frequentemente esta forma seja confundida com a catenária.^[10][19][20]

• 
  Arcos em forma de catenárias invertidas na Casa Milà (Barcelona, Espanha).^[21]
• 
  Gateway Arch: Arco em forma de catenária invertida achatada (St. Louis, Estados Unidos).^[22]
• 
  Arco em forma de catenária invertida de tijolos de barro.
• 
  Teto da estação ferroviária Keleti tem forma de catenária invertida (Budapeste, Hungria).^[19]
• 
  Iglus são construídos com base na forma da catenária invertida (considerando a seção).
• 
  Marquette Plaza, arranha-céu com arco de catenária em seu design (Mineápolis, Estados Unidos).^[23]
• 
  O domo da Catedral Santa Maria del Fiore tem a forma de uma catenária invertida (considerando a seção (Florença, Itália).^[24]

• 
  Cabos suspensos entre dois pontos formando catenárias.
• 
  Catenárias em uma teia de aranha
• 
  Corrente suspensa formando uma catenária.

• Catenóide
• Braquistócrona
• Ciclóide
• Geodésica
• Funções hiperbólicas

Referências

• Simmons, George F.. Cálculo com geometria analítica, vol 1. 1^aedição. São Paulo: McGraw-Hill Ltda, 1987.
• Faria, Sirlene Rezende de. A catenária. Disponível em <https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/BUOS-94QMAZ/1/a_catenaria.pdf>. Acessado em 6 de outubro de 2019.

• Portal da matemática