Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.

Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes à dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto ${\displaystyle A}$ fechado, seu complementar ${\displaystyle A^{c}}$ é aberto e vice versa. Então ${\displaystyle A}$ é aberto se, e somente se, ${\displaystyle A^{c}}$ é aberto.

Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.

Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.

Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.

Demonstração: Dado ${\displaystyle A_{1}}$ e ${\displaystyle A_{2}}$ abertos, a união destes dois é ${\displaystyle \cup (A_{1},A_{2})=A}$. Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à ${\displaystyle A_{1}}$ ou à ${\displaystyle A_{2}}$ (possivelmente à ambos), se estiver em ${\displaystyle A_{1}}$ existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de ${\displaystyle A_{1}}$, o mesmo para ${\displaystyle A_{2}}$. Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de ${\displaystyle \cup (A_{1},A_{2})=A}$. Isso se generaliza para ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup {...}\cup A_{n};n\in \mathbb {N} }$ é aberto, se cada ${\displaystyle A_{i}}$ é aberto, ${\displaystyle i=1,...,n}$..

Ver artigo principal: Espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia ${\displaystyle T}$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é definida como um subconjunto do conjunto das partes de ${\displaystyle X}$ (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de ${\displaystyle T}$ é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Ver artigo principal: Espaço métrico

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.^[1] Ou seja, dado um espaço métrico ${\displaystyle S\,\!}$, um subconjunto ${\displaystyle X\,\!}$ de ${\displaystyle S\,\!}$ é aberto se, para cada ponto ${\displaystyle a\in X}$, existe ${\displaystyle \delta >0\,\!}$ tal que a bola aberta ${\displaystyle B(a,\delta )\,\!}$ ainda esteja contida em ${\displaystyle X\,\!}$.^[1]

• Em um espaço topológico ou espaço métrico ${\displaystyle X}$, o conjunto vazio e o próprio conjunto ${\displaystyle X}$ são abertos.
• Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
• Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
• A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
• A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Como ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto ${\displaystyle X\,\!}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é aberto se, para cada ponto ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, existe ${\displaystyle \epsilon \,\!}$ tal que ${\displaystyle (a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X}$.

Em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Referências

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company 

• Portal da matemática