Distribuição binomial

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Distribuição Binomial
Densidade de probabilidade A cor amarela representa a função f de densidade de probabilidade da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5)
Função de distribuição acumulada A cor amarela representa a função F de distribuição acumulada da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5)
Parâmetros	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,n>0,}$ número de ensaios ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ,0<p<1,}$ probabilidade de sucesso em cada ensaio
Suporte	${\displaystyle k\in \{0,1,...n\}}$
f.d.p.	${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
Média	${\displaystyle np}$
Mediana	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$ ou ${\displaystyle \lceil np\rceil }$
Moda	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ ou ${\displaystyle \lceil (n+1)p-1\rceil }$
Variância	${\displaystyle np(1-p)}$
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle {(1-p+pe^{t})}^{n}}$
Função Característica	${\displaystyle {(1-p+pe^{it})}^{n}}$

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de ${\displaystyle n}$ tentativas tais que:

1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de ensaio de Bernoulli), e;
2. Cada tentativa é independente das demais, e;
3. A probabilidade de sucesso ${\displaystyle p}$ a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos ${\displaystyle k}$ nas ${\displaystyle n}$ tentativas.

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

${\displaystyle f(k;n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\,}$

para ${\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n}$ e onde ${\displaystyle {n \choose k}}$ é uma combinação.

Colocando a função completa, incluindo a Combinação:

${\displaystyle f(k;n,p)={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\ {p^{k}}{(1-p)^{n-k}}}$

Cada parte da função acima traduz os seguintes dados:

A combinação ${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ contém as ordenações possíveis;

O número de sucesso é ${\displaystyle {p^{k}}}$, e;

A probabilidade de fracassos é ${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$.

Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

${\displaystyle f(k;n,p)={\frac {p}{1-p}}{\frac {n-k+1}{k}}f(k-1;n,p)}$

Exemplo 1

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

${\displaystyle f(2;3,{\frac {1}{6}})={3 \choose 2}\times \left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\times \left(1-{\frac {1}{6}}\right)^{3-2}\,}$

${\displaystyle ={\frac {3!}{2!\cdot \left(3-2\right)!}}\,\!\times {\frac {1}{36}}\times ({\frac {5}{6}})^{1}\,=}$

${\displaystyle ={\frac {3}{1}}\times {\frac {1}{36}}\times {\frac {5}{6}}={\frac {15}{216}}={\frac {5}{72}}\,}$

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

${\displaystyle f(3;3,{\frac {1}{6}})={3 \choose 3}\times {\frac {1}{6}}^{3}\times (1-{\frac {1}{6}})^{3-3}\,=}$

${\displaystyle ={\frac {3!}{3!\cdot \left(3-3\right)!}}\,\!\times {\frac {1}{216}}\times ({\frac {5}{6}})^{0}\,=}$

${\displaystyle ={\frac {3!}{3!}}\times {\frac {1}{216}}\times 1\,=}$

${\displaystyle {\frac {3!}{3!}}={\frac {6}{6}}=1}$

${\displaystyle =1\times {\frac {1}{216}}\times 1={\frac {1}{216}}\,}$

Assim, a resposta é:

${\displaystyle ={\frac {15}{216}}+{\frac {1}{216}}={\frac {16}{216}}={\frac {2}{27}}}$

Exemplo 2

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, ${\displaystyle P(X=5)}$, é dada por:

${\displaystyle \!k=5,n=12,p=0,5}$

${\displaystyle \!f(5;12;0,5)={12 \choose 5}0,5^{5}(1-0,5)^{12-5}=0,19}$

Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

${\displaystyle E[X]=np\,}$

e a variância é

${\displaystyle {\mbox{var}}(X)=np(1-p).\,}$

• Calculadora - Distribuição binomial