Filtro (teoria dos conjuntos)
Em matemática, especialmente em teoria dos conjuntos, um filtro em um conjunto é uma coleção de subconjuntos de , ou seja, , satisfazendo as seguintes condições:
Por vezes, a definição não inclui a propriedade . Com essa definição, os filtros com esta propriedade chamam-se filtros próprios.
Exemplo
[editar | editar código-fonte]- Seja X um espaço topológico e . Então a coleção das vizinhanças de x é um filtro.
Reticulados e álgebras de Boole
[editar | editar código-fonte]Analogamente, em reticulados L um filtro é um conjunto não vazio de elementos de L definido por:
Numa álgebras de Boole com máximo e mínimo , às condições anteriores são acrescentadas:
Em álgebras de Boole, o filtro é o conceito dual do ideal.
Filtros principais
[editar | editar código-fonte]Se um filtro sobre tem a forma:
com , então é o filtro principal gerado por . Numa álgebra de Boole finita todo filtro é principal.
Um exemplo de filtro não principal é o "filtro de Frechet":
Um conjunto é denominado cofinito se o seu complemento relativo a é finito, ou seja é finito. Por exemplo:
é cofinito, pois o seu complemento é:
e é finito.
Ultrafiltros
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Um ultrafiltro é um filtro maximal, no seguinte sentido: não existe um filtro tal que . Por exemplo, seja um conjunto não vazio com :
é um ultrafiltro. Nesse caso, é o ultrafiltro principal, gerado por . Analogamente, se é uma álgebra de Boole e é um átomo em , então é o ultrafiltro principal gerado por .
Usando o axioma da escolha pode ser demonstrado que o todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro. Usando esse resultado, o filtro de Frechet pode ser estendido a um ultrafiltro, demonstrando a existência de ultrafiltros não principais.