Interpolação linear

Na matemática, Interpolação linear é um método no qual instanciamos um novo conjunto de dados utilizando interpolação polinomial em vista de construir novos pontos de dados no alcance de pontos já conhecidos.

Dados os pontos ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ e ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, a interpolante linear é a linha entre os dois pontos. Para um valor x no intervalo ${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$, o valor y é a linha entre os pontos. Estabelecendo a seguinte relação:

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

que pode ser derivado geometricamente da figura ao lado. Se trata de um caso especial de interpolação polinomial com n = 1.

Tal que resolvendo para y com x temos a relação geométrica:

${\displaystyle y=y_{0}+(y_{1}-y_{0}){\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$

cuja formula é a interpolação linear entre o intervalo ${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$. Fora do intervalo denominamos de extrapolação linear.

Podemos visualizar a formula como uma média ponderada. Os pesos são inversamente proporcionais à distância entre o ponto de chegada e o ponto desconhecido. O ponto mais perto pondera mais que o ponto distante. Portanto, os pesos são ${\textstyle {\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$ e ${\textstyle {\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}}$, que são distâncias normalizadas entre o ponto desconhecido e o ponto de chegada. Dado que a soma é 1:

${\displaystyle y=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)}$

Interpolação linear é utilizada como método de aproximação para uma função f utilizando dois pontos dados pela mesma. O erro (ou "resto" ou "resíduo") desta aproximação pode ser dado pela expressão:

${\displaystyle R_{T}=f(x)-p(x)\,\!}$

onde p denota a interpolação polinomial definida abaixo:

${\displaystyle p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!}$

Sabe-se pelo teorema de Taylor que:

${\displaystyle R(x)={\frac {f''(x_{1})}{2!}}(x-x_{1})^{2}={\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}.\,\!}$

Pode ser provada utilizando o teorema de Rolle, que cita que se f tem uma segunda derivada o erro está definido por:

${\displaystyle |R_{T=2}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!}$

Se a função C⁰ é insuficiente, por exemplo, se o processo produziu os pontos de dados é provado ser mais 'liso' que C₀, é comum substituir interpolação linear por interpolação de spline^[1], ou até mesmo interpolação polinomial em alguns casos.

Para duas dimensões espaciais, a extensão da interpolação linear é chamada de interpolação bilinear, e em três dimensões, interpolação trilinear.

Note, que esses interpolantes não são mais funções lineares, porem produtos de funções lineares; como ilustrado claramente pelo exemplo de interpolação bilinear nessa figura abaixo. Outros tipos de interpolação podem ser aplicados a malhas triangulares e tetraédricas, incluindo superfícies Bézier.

Interpolação linear é utilizada desde a antiguidade para completar "buracos" nas tabelas, geralmente contendo dados astronômicos. Acredita-se que era utilizado por astrônomos Babilônios e matemáticos da Mesopotâmia (300 anos a.C.), e pelos astrônomos da Grécia. Uma descrição da interpolação linear pode ser encontrada no Almagesto (200 anos d.C.) por Ptolomeu.

Muitas bibliotecas e linguagens de shaders tem uma função denominada de "lerp", que retorna a interpolação entre dois valores (v0,v1) e um parâmetro (t) em um intervalo fechado de [0,1]:

Algoritmo basico em C++:

// método impreciso para calcular v = v1 quando t = 1 "floating-point arithimetic error"  // Essa forma pode ser utilizada em hardware que possui intruções "Multiply-Add" float lerp(float v0, float v1, float t) {   return v0 + t*(v1-v0); }  // Método preciso que garante que v = v1 quando t = 1. float lerp(float v0, float v1, float t) {   return (1-t)*v0 + t*v1; } 

Essa função lerp é usualmente utilizada para mesclar o canal alpha (onde o parâmetro 't' é o alpha), e a formula pode ser estendida para mesclar múltiplos componentes de vetores (como espaciais x,y,z ou cores com componentes r,g,b) em paralelo.

Referências

• Meijering, Erik (2002), «A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing», Proceedings of the IEEE, 90 (3): 319–342, doi:10.1109/5.993400 .

• Linear Interpolation Online Calculation and Visualization Tool
• Equations of the Straight Line at cut-the-knot
• Implementing linear interpolation in Microsoft Excel Arquivado em 5 de agosto de 2016, no Wayback Machine.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Linear interpolation», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Finite-increments formula», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• See OrangeOwlSolutions for CUDA implementations of linear interpolation.
• APLJaK Linear Interpolation Calculator one of many calculators available.