Notação de Leibniz

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Em cálculo, a notação de Leibniz, nomeada em honra ao filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, usa os símbolos dx e dy para representar incrementos "infinitamente pequenos" (ou infinitesimais) de x e y, assim como Δx e Δy representam incrementos finitos de x e y. Sendo y uma função de x

${\displaystyle y=f(x)\,,}$

a derivada de y com relação a x, que mais tarde veio a ser conhecida como,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

era, de acordo com Leibniz, o quociente de um incremento infinitesimal de y por um incremento infinitesimal de x, ou

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

onde, à direita está a notação de Lagrange para a derivada de f em x.

Similarmente, embora os matemáticos atualmente vejam uma integral

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

como um limite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

onde Δx é um intervalo contendo x_i, Leibniz o entendia como uma soma (o símbolo da integral denota um somatório) de infinitas quantidades infinitesimais f(x) dx.

Uma vantangem do ponto de vista de Leibniz é sua compatibilidade com análise dimensional. Por exemplo, na notação de Leibniz, a derivada de segunda ordem (usando diferenciação implícita) é:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f''(x)}$

e tem as mesmas unidades dimensionais que ${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}}$. Note que ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ é a forma reduzida de ${\displaystyle {\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}}$, ou, em outras palavras a segunda variação infinitesimal de y sobre o quadrado da primeira variação infinitesima de x. O denominador não é nem o diferencial de x², nem o segundo diferencial de x.

Referências