Pontos extremos de uma função

ci cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A)). (Maio de 2011)

Em matemática, especialmente na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle m}$ são valores máximos e mínimos apenas se existem pontos no domínio ${\displaystyle x_{m}}$ e ${\displaystyle x_{M}}$ tais que:

${\displaystyle m=f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})=M}$, para todo ${\displaystyle x}$ no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida em um conjunto compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local, que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Uma função real ${\displaystyle f}$ definida no domínio de X tem um ponto máximo global em x* se ${\displaystyle f(x^{*})\geq f(x)}$ para todo x em X. Similarmente, a função tem um ponto mínimo global em x* se ${\displaystyle f(x^{*})\leq f(x)}$ para todo x em X.

O valor da função no ponto máximo é chamado de valor máximo da função e o valor da função no ponto mínimo é chamado de valor mínimo da função.

Se o domínio X é um espaço métrico então f tem um ponto máximo local no ponto x* se existir algum Ɛ 0  de modo que f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Similarmente, a função tem um ponto mínimo local no x* se f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Uma definição similar pode ser usada quando X é um espaço topológico, desde que a definição possa somente ser reescrita em termos de sua vizinhança. Note que um ponto máximo global é sempre um ponto máximo local, e igualmente para pontos mínimos.

Uma função contínua real com um domínio compacto sempre tem um ponto máximo e mínimo. Um importante exemplo é uma função cujo domínio é um intervalo aberto de números reais (e limitado)  (veja o gráfico acima).

Encontrar o máximo e mínimo global é o objetivo da otimização matemática. Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então o teorema do valor extremo máximo e mínimo global existe. Além disso, o máximo global (ou mínimo) também pode ser um máximo local (ou mínimo) no interior do domínio, ou deve estar no limite do domínio. Então o método de encontrar o máximo global (ou mínimo) é através de todo máximo local (ou mínimo) no inteiro e também nos pontos máximos (ou mínimos) dos limites, e admitir o maior ou menor. Métodos dos intervalos fechados, para calcular máximos e mínimos absolutos de uma função ${\displaystyle f:[a,b]}$ pertence ao conjunto dos números reais, IR devemos:

1.     Derivar ${\displaystyle f(x)}$ e encontrar ${\displaystyle C}$, com ${\displaystyle f'(C)=0}$

2.     Encontrar os valores ${\displaystyle C}$, onde ${\displaystyle f'(C)}$ não existe.

3.     Calcular ${\displaystyle f(a)}$ e ${\displaystyle f(b)}$.

4.     Comparar ${\displaystyle f(a)}$ e ${\displaystyle f(b)}$ e os valores ${\displaystyle f(C)}$:

·        O maior é o máximo absoluto

·        O menor é o mínimo absoluto.

EX: ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+1}$                 ${\displaystyle [-1/2.4]}$     

*Primeiro passo derivar a função.

${\displaystyle f'(x)=3x^{2}-6x}$

* segundo passo achar o valor de x quando a derivada é 0 (achar as raízes da derivada)

${\displaystyle f'(x)=0}$

${\displaystyle 3x^{2}-6x=0}$

${\displaystyle 3x(x-2)=0}$

Usando a regra de Bhaskara, para que o resultado seja igual a zero, ou 3x =0, ou (x – 2) = 0

portanto as raízes são

${\displaystyle x_{1}=0}$ e ${\displaystyle x_{2}=2}$

*Terceiro passo, substituir o ponto do intervalo ${\displaystyle [-1/2.4]}$, na função.

${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+1}$

*Quarto passo, substituir os valores das raízes da derivada na função

Onde

${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x^{2}+1}$

(4) ponto máximo absoluto                    (2) ponto mínimo absoluto

(17) máximo absoluto                            (-3) mínimo absoluto

O extremo local de uma função diferenciável pode ser encontrada através do teorema de Fermat, em que encontra os pontos críticos. Um modo é distinguir aonde o ponto critico é máximo local ou mínimo local usando o teste da primeira derivada, ou o teste de várias derivadas, dando uma suficiente diferenciabilidade.

Para funções de mais do que uma variável as mesmas condições se aplicam. Por exemplo, na figura a direita, a condição necessária para o máximo local são similares a utilizadas para uma função com somente uma variável. A primeira derivada parcial em z (a variável a ser maximizada) é zero no máximo. A segunda derivada parcial é negativa. Isto é necessário, porém não é uma condição suficiente para um máximo local porque há a possibilidade de um ponto mínimo. Para resolver essas condições para o máximo, a função z tem que ser completamente diferenciável. O teste da segunda derivada parcial pode ajudar classificar o ponto em que é máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, há diferenças entre funções de uma variável e funções de mais do que uma variável na identificação do extremo global. Por exemplo, se um limite de uma função diferenciável f definidade em um intervalo fechado na linha dos reais tem um único ponto crítico, no qual é um mínimo local, então este é também um mínimo global (usando o Teorema do valor intermediário e o Teorema de Rolle prova isto por redução pelo absurdo). Em duas ou mais dimensões, estes argumentos falham, como a função mostra

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},x,y\in R}$

O ponto critico é (0,0) no qual é o mínimo local com ${\displaystyle f(0,0)=0}$. No entanto, este não pode ser um global, porque ${\displaystyle f(2,3)=-5}$.

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ definida na reta admite um mínimo em ${\displaystyle x=0}$ mas não admite máximo.
• ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ não tem mínimo ou máximo global. Entretanto a primeira derivada ${\displaystyle 3x^{2}}$ é 0 em ${\displaystyle x=0}$, este é um ponto de inflexão.
• ${\displaystyle f(x)=|x|}$ tem um mínimo global em ${\displaystyle x=0}$ que não pode ser encontrado pelas derivadas, porque a derivadas não existe em x=0.
• ${\displaystyle f(x)=cos(x)}$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.
• ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ uma função real diferenciável em um domínio ${\displaystyle D}$ contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja ${\displaystyle x_{0}}$ um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

Podemos supor que ${\displaystyle h}$ é suficientemente pequeno de forma que ${\displaystyle f(x_{0}+h)\leq f(x_{0})}$.

O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0}$

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0-}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Referências

Stewart. James. Calculo. volume 1. 7 ed. São Paulo. Cengage Learning. 2013

• Multiplicadores de Lagrange, método para encontrar extremos de uma função.
• Limites superior e inferiores

• Portal da matemática