Universo de von Neumann

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

V é definida por recursão transfinita.

• O primeiro nível é o conjunto vazio:

${\displaystyle V_{0}:=\emptyset \!}$.

• Para um ordinal α, sendo ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$ o conjunto das partes de ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle V_{\alpha +1}:={\mathcal {P}}(V_{\alpha })\!}$

• Para um ordinal limite β:

${\displaystyle V_{\beta }:=\bigcup _{\alpha <\beta }V_{\alpha }\!}$.

É importante ressaltar que existe uma fórmula ${\displaystyle \phi (x,\alpha )}$ da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa "${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$".

Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

• Para β um ordinal:

${\displaystyle V_{\beta }:=\bigcup _{\alpha <\beta }{\mathcal {P}}\left(V_{\alpha }\right)\!}$.

• Finalmente, sendo V a união de todos os V_α:

${\displaystyle \mathbf {\mathsf {V}} :=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {O} n}V_{\alpha }\!}$.

O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que ${\displaystyle x\in \mathbf {\mathsf {V}} }$ deve ser interpretado como "existe um ordinal ${\displaystyle \alpha }$ tal que ${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$".

Note-se que para cada ordinal α, V_α é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

${\displaystyle {\mbox{Se }}\alpha <\beta {\mbox{ então }}V_{\alpha }\in V_{\beta }{\mbox{ e }}V_{\alpha }\subseteq V_{\beta }\!}$

Na presença dos demais axiomas de ZF, o enunciado ${\displaystyle \forall x\left(x\in \mathbf {\mathsf {V}} \right)}$ é equivalente ao Axioma da Fundação. Dessa maneira, conjuntos mal fundados, como ${\displaystyle x=\left\{x\right\}}$. não pertencem a V e sua não existência pode ser provada em ZF. Além disso, todos os elementos de V são conjuntos, de modo que os denominados átomos, elementos primitivos ou Urelemente (elementos que não são conjuntos) não pertencem a V.
Se omitirmos o Axioma da Fundação de ZF, denominada ZF⁻, então V é um modelo interno. Como para a construção de V não é necessário o Axioma da Fundação, dessa maneira é demonstrada a consistência relativa do Axioma da Fundação com relação aos demais axiomas de ZF, se eles são consistentes. Ainda podemos acrescentar a ZF⁻ axiomas contraditórios com o Axioma da Fundação, p.ex. o Axioma de anti-fundação de Aczel, mas então V não é mais um modelo dessa teoria.

Sendo ${\displaystyle \omega }$ o conjunto dos números naturais e primeiro ordinal transfinito, ${\displaystyle V_{\omega }}$ é a classe dos conjuntos hereditariamente finitos. ${\displaystyle V_{\omega }}$ é um modelo de ZF menos o Axioma do infinito. Em ${\displaystyle V_{\omega }}$ temos todos os números naturais, mas não ${\displaystyle \omega }$. Os conjuntos em ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ são suficientes para fazer a maior parte da teoria de números, análise matemática, etc., ou seja a "matemática habitual". ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ é um modelo da Teoria de conjuntos de Zermelo, denominada Z mas como a definição de ${\displaystyle V_{\omega +\omega }}$ precisa do Axioma da substituição, esse método não pode ser usado para definir um modelo interno de Z. Se ${\displaystyle \kappa }$ é um cardinal inacessível, então ${\displaystyle V_{\kappa }}$ é um modelo de ZF e, portanto, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser provada em ZF, se ZF é consistente.

O universo construível de Gödel

O Axioma da Fundação