Vetor unitário

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Um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

No espaço euclidiano, o produto escalar de dois vetores unitários é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles. Isto é devido à fórmula do produto escalar, já que os comprimentos de ambos vetores é 1.

O vetor normalizado û de um vetor não zero u é o vetor unitário codirecional com u, i.e. $${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{||\mathbf {u} ||}}.}$$

O termo vetor normalizado é algumas vezes utilizado simplesmente como sinônimo para vetor unitário.

Os elementos de uma base são geralmente vetores unitários. Na coordenada cartesiana tridimensional, esses elementos são usualmente i, j e k — vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente. $${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

Estes nem sempre são escritos com um circunflexo, mas pode ser normalmente assumido que i, j e k são vetores unitários na maioria dos contextos.

Outros sistemas de coordenadas, como coordenada polar ou coordenada esférica utiliza vetores unitários diferentes; suas notações variam.

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.^[1]

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se ${\displaystyle {\vec {u}}}$ é o versor de ${\displaystyle {\vec {v}},}$ então:

${\displaystyle {\vec {u}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}}$

Isto se evidencia por:

${\displaystyle |{\vec {u}}|=\left|{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}\right|}$

${\displaystyle |{\vec {u}}|={\sqrt {\left({\frac {v_{x}}{|{\vec {v}}|}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{y}}{|{\vec {v}}|}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{z}}{|{\vec {v}}|}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle |{\vec {u}}|={\sqrt {\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{|{\vec {v}}|^{2}}}}}$

${\displaystyle |{\vec {u}}|={\sqrt {\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}}$

${\displaystyle |{\vec {u}}|=1}$

Os versores são úteis para diversas operações , alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

• ${\displaystyle {\vec {i}}=\langle 1,0,0\rangle }$
• ${\displaystyle {\vec {j}}=\langle 0,1,0\rangle }$
• ${\displaystyle {\vec {k}}=\langle 0,0,1\rangle }$

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor ${\displaystyle {\vec {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle ,}$ pode ser referenciado e operado na forma:

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}+v_{z}{\vec {k}}}$

O que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} },}$ na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento. A figura abaixo mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.^[2]

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. O objeto chega a ponto P deslocando-se para a direita e um pouco para cima, direção essa que é definida pelo versor tangencial em azul na figura acima, ficando em repouso no ponto P; num instante posterior o objeto começa novamente a deslocar-se, agora em direção para a esquerda e para baixo, representada pelo vetor tangencial a verde na figura.^[2]

Os únicos pontos da trajetória onde a direção tangente tem uma descontinuidade (dois vetores tangenciais no mesmo ponto), são os pontos em que a velocidade é nula. Nos pontos onde a velocidade não for nula, deverá existir sempre um único versor tangencial ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} },}$ que apontará na direção e sentido da velocidade. Isto é, a velocidade pode ser escrita:

${\displaystyle {\vec {v}}=v\,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$

A velocidade ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é igual à derivada do vetor posição ${\displaystyle {\vec {r}}:}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {r}}}{\mathrm {d} \,t}}}$

O vetor posição ${\displaystyle {\vec {r}}}$ não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que ${\displaystyle {\vec {r}}}$ depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura abaixo).

No entanto, a equação acima garante que, independentemente da escolha do referencial, a derivada de ${\displaystyle {\vec {r}}}$ será sempre o mesmo vetor (velocidade) na direção tangencial.^[2]

Se ${\displaystyle \Delta \,{\vec {r}}}$ for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta \,t}$ (figura abaixo), a distância percorrida durante esse intervalo, ${\displaystyle \Delta \,s,}$ é sempre maior ou igual que o módulo de ${\displaystyle \Delta \,{\vec {r}}.}$

A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de ${\displaystyle \Delta \,{\vec {r}}}$ só seria igual a ${\displaystyle \Delta \,s}$ se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante. ^[2]

No limite quando ${\displaystyle \Delta \,t}$ for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e; assim sendo, a direção de ${\displaystyle \Delta \,{\vec {r}}}$ será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de ${\displaystyle \Delta \,{\vec {r}}}$ será aproximadamente igual a ${\displaystyle \Delta \,s.}$ A derivada do vetor posição será então,

${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {r}}}{\mathrm {d} \,t}}=\lim _{\Delta \,t\rightarrow 0}\;{\frac {\Delta \,{\vec {r}}}{\Delta \,t}}=\lim _{\Delta \,t\rightarrow 0}\;{\frac {\Delta \,s}{\Delta \,t}}\;{\vec {e}}_{\mathrm {t} }={\dfrac {\mathrm {d} \,s}{\mathrm {d} \,t}}\,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$

E, substituindo na equação ${\displaystyle {\vec {v}}={\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {r}}}{\mathrm {d} \,t}},}$ obtém-se:

${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {s}}\,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da distância percorrida, ${\displaystyle s,}$ em ordem ao tempo, já que ${\displaystyle {\dot {s}}}$ não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.^[2]

A aceleração ${\displaystyle {\vec {a}}}$ é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação, ^[2]

${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {s}}\,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$

,temos :

${\displaystyle {\vec {a}}={\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {v}}}{\mathrm {d} \,t}}={\ddot {s}}\;{\vec {e}}_{\mathrm {t} }+{\dot {s}}\,{\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}{\mathrm {d} \,t}}}$

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura ao lado, mostra como calcular a derivada de ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }.}$

Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da primeira figura para um ponto comum, o aumento de ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ no intervalo desde A até B é o vetor ${\displaystyle \Delta \,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ que une os dois vetores.

Sendo o módulo de ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ igual a 1, os dois versores ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ na figura acima descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo ${\displaystyle \Delta \,\theta .}$

Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a ${\displaystyle \Delta \,\theta .}$

Se o intervalo de tempo ${\displaystyle \Delta \,t}$ for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor ${\displaystyle \Delta \,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo ${\displaystyle \Delta \,\theta ;}$ conclui-se que a derivada de ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ é:

${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}{\mathrm {d} \,t}}=\lim _{\Delta \,t\rightarrow 0}\;{\frac {\Delta \,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}{\Delta \,t}}=\lim _{\Delta \,t\rightarrow 0}\;{\frac {\Delta \,\theta }{\Delta \,t}}\;{\vec {e}}_{\mathrm {n} }={\dot {\theta }}\,{\vec {e}}_{\mathrm {n} }}$

Em que ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {n} }}$ é o {versor normal}, perpendicular à trajetória, e

${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ representa o valor da {velocidade angular}.

Substituindo essa derivada na equação ...

${\displaystyle {\vec {a}}={\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {v}}}{\mathrm {d} \,t}}={\ddot {s}}\;{\vec {e}}_{\mathrm {t} }+{\dot {s}}\,{\dfrac {\mathrm {d} \,{\vec {e}}_{\mathrm {t} }}{\mathrm {d} \,t}}}$

, obtém-se a expressão para a aceleração:

${\displaystyle {\ddot {s}}\;{\vec {e}}_{\mathrm {t} }+{\dot {s}}\,{\dot {\theta }}\;{\vec {e}}_{\mathrm {n} }}$

Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória.

A componente tangencial da aceleração tangencial, ${\displaystyle a_{\mathrm {t} }={\ddot {s}},}$ é a aceleração segundo a trajetória.

A componente normal da {aceleração normal} é igual ao produto do valor da velocidade ${\displaystyle {\dot {s}}}$ pelo valor da velocidade angular ${\displaystyle {\dot {\theta }}:}$

${\displaystyle a_{\mathrm {n} }={\dot {s}}\,{\dot {\theta }}}$

Tendo em conta que os versores ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }}$ e ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {n} }}$ são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação acima implica que o valor da aceleração, ${\displaystyle a,}$ será a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

${\displaystyle a^{2}=a_{\mathrm {t} }^{2}+a_{\mathrm {n} }^{2}}$

O ângulo de rotação do versor tangencial, ${\displaystyle \Delta \,\theta ,}$ é também igual ao ângulo de rotação do versor normal ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {n} }.}$

A figura acima mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura inicial da secção (versor).

Repare que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se ponto de inflexão.

No ponto P (figura acima) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial ${\displaystyle {\vec {e}}_{\mathrm {t} }.}$

A figura ao lado mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante ${\displaystyle t_{0}}$) e B (instante ${\displaystyle t_{0}+\Delta \,t}$) correspondente ao movimento da figura anterior.

As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes (${\displaystyle R_{\mathrm {A} }}$ e ${\displaystyle R_{\mathrm {B} }}$), mas

serão iguais no limite ${\displaystyle \Delta \,t\rightarrow 0,}$ em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva.

A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, ${\displaystyle R,}$ da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento ${\displaystyle \mathrm {d} \,s}$ pode ser aproximado por um arco

de circunferência de raio ${\displaystyle R}$ e ângulo ${\displaystyle \mathrm {d} \,\theta ;}$

a distância percorrida é o comprimento desse arco :

${\displaystyle \mathrm {d} \,s=R\,\mathrm {d} \,\theta }$

Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é:

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\lim _{\Delta \,t\rightarrow 0}\;{\dfrac {\Delta \,\theta }{\Delta \,t}}=\lim _{\Delta \,t\rightarrow 0}\;{\dfrac {\Delta \,s}{R\,\Delta \,t}}={\dfrac {\dot {s}}{R}}}$

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ é igual ao valor da velocidade, ${\displaystyle {\dot {s}},}$ dividida pelo raio de curvatura ${\displaystyle R}$ nesse ponto.

Usando este resultado, a componente normal da aceleração, ${\displaystyle a_{\mathrm {n} },}$ pode ser escrita do modo seguinte:

${\displaystyle a_{\mathrm {n} }={\dfrac {v^{2}}{R}}}$

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, ${\displaystyle a_{\mathrm {n} },}$ é chamada habitualmente{aceleração centrípeta}.

Em mecânica de fluídos, o fluxo de massa fluida escoando por uma superfície S que limita um volume arbitrário no espaço é dado por:

${\displaystyle \int \int (pv)*ndS}$

onde ρ é a densidade do fluido, v é a velocidade com que as partículas de fluido atravessam a superfície e dS uma medida (a menos do rigor matemático). Notavelmente, n  pode ser substituído por uma relação entre inclinações determinadas por produto vetorial de vetores tangentes em relação a superfície S.

O exemplo do fluxo de massa é apenas um que leva em conta uma das muitas integrais nas quais n tem um papel fundamental. Outros exemplos onde ele figura são: Teorema da Divergência (comumente cunhado como Teorema de Gauss), Teorema do Transporte (de Leibnitz, ou Reynolds), tensor hidrostático, Teorema de Young-Laplace da tensão superficial. ^[3]

Referências

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