Velocidade

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Velocidade vetorial é a velocidade escalar em combinação com a direção do movimento de um objeto. A velocidade vetorial é um conceito fundamental na cinemática, o ramo da mecânica clássica que descreve o movimento dos corpos.

A velocidade vetorial é uma grandeza vetorial física: tanto a magnitude quanto a direção são necessárias para defini-la. O valor absoluto escalar (magnitude) da velocidade vetorial é chamado de velocidade escalar, sendo uma unidade derivada coerente cuja quantidade é medida no SI (sistema métrico) como metros por segundo (m/s ou m⋅s⁻¹). Por exemplo, “5 metros por segundo” é um escalar, enquanto “5 metros por segundo leste” é um vetor. Se houver uma mudança na velocidade escalar, direção ou ambas, diz-se que o objeto está sofrendo uma aceleração.

A velocidade média de um objeto durante um período de tempo é sua mudança de posição, ${\displaystyle \Delta s}$, dividida pela duração do período, ${\displaystyle \Delta t}$, dada matematicamente como^[1] $${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$$

A velocidade instantânea de um objeto é a velocidade média limite conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer momento t específico, pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo:^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob uma velocidade versus tempo (gráfico de v versus t) é o deslocamento, s. Em termos de cálculo, a integral da função de velocidade v(t) é a função de deslocamento s(t). Na figura, isto corresponde à área amarela sob a curva. $${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt}$$

Embora o conceito de velocidade instantânea possa à primeira vista parecer contra-intuitivo, pode ser pensado como a velocidade com que o objeto continuaria a viajar se parasse de acelerar naquele momento.

Ver artigo principal: Velocidade escalar

Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados ​​coloquialmente de forma intercambiável para denotar a rapidez com que um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor de velocidade, denota apenas a rapidez com que um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica a velocidade escalar e a direção de um objeto.^[3][4][5]

Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta, portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.

Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não tem velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.

Como a derivada da posição em relação ao tempo dá a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade é medida em metros por segundo (m/s).

Ver artigo principal: Equações de movimento

A velocidade é definida como a taxa de mudança de posição em relação ao tempo, que também pode ser referida como velocidade instantânea para enfatizar a distinção da velocidade média. Em algumas aplicações, a velocidade média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade variável no mesmo intervalo de tempo, v(t), ao longo de algum período de tempo Δt. A velocidade média pode ser calculada como:^[6][7]

$${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)dt}{t_{1}-t_{0}}}.}$$

A velocidade média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância está sempre aumentando estritamente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.

Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo (x versus. t), a velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) pode ser considerada como a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade média como a inclinação da reta secante entre dois pontos com coordenadas t iguais aos limites do período de tempo para a velocidade média.

• Quando uma partícula se move com diferentes velocidades escalares uniformes v₁, v₂, v₃, ..., v_n em diferentes intervalos de tempo t₁, t₂, t₃, ..., t_n respectivamente, então a velocidade escalar média sobre o tempo total da jornada é dada como $${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}t_{1}+v_{2}t_{2}+v_{3}t_{3}+\dots +v_{n}t_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}}$$

Se t₁ = t₂ = t₃ = ... = t, então a velocidade escalar média é dada pela média aritmética das velocidades escalares $${\displaystyle {\bar {v}}={v_{1}+v_{2}+v_{3}+\dots +v_{n} \over n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{v_{i}}}$$

• Quando uma partícula se move em diferentes distâncias s₁, s₂, s₃,..., s_n com velocidades escalares v₁, v₂, v₃,..., v_n respectivamente, então a velocidade escalar média da partícula ao longo da distância total é dada como^[8]

$${\displaystyle {\bar {v}}={s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n} \over t_{1}+t_{2}+t_{3}+\dots +t_{n}}={{s_{1}+s_{2}+s_{3}+\dots +s_{n}} \over {{s_{1} \over v_{1}}+{s_{2} \over v_{2}}+{s_{3} \over v_{3}}+\dots +{s_{n} \over v_{n}}}}}$$

Se s₁ = s₂ = s₃ = ... = s, então a velocidade escalar média é dada pela média harmônica das velocidades escalares^[8] $${\displaystyle {\bar {v}}=n\left({1 \over v_{1}}+{1 \over v_{2}}+{1 \over v_{3}}+\dots +{1 \over v_{n}}\right)^{-1}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{v_{i}}}\right)^{-1}}$$

Embora a velocidade seja definida como a taxa de mudança de posição, é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a inclinação da linha tangente à curva de um gráfico v(t) naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade em relação ao tempo:^[9] $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}}$$

A partir daí, a velocidade é expressa como a área sob um gráfico de aceleração versus tempo a(t). Como acima, isso é feito usando o conceito da integral: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt}$$

No caso especial de aceleração constante, a velocidade pode ser estudada usando as equações de suvat. Ao considerar a como sendo igual a algum vetor constante arbitrário, isso mostra $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t}$$ com v como a velocidade no tempo t e u como a velocidade no tempo t = 0. Ao combinar esta equação com a equação de suvat x = ut + at²/2, é possível relacionar o deslocamento e a velocidade média por $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})}{2}}t={\boldsymbol {\bar {v}}}t}$$ Também é possível derivar uma expressão para a velocidade independente do tempo, conhecida como equação de Torricelli, da seguinte forma: $${\displaystyle v^{2}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)\cdot ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {a}}t)=u^{2}+2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}}$$ $${\displaystyle (2{\boldsymbol {a}})\cdot {\boldsymbol {x}}=(2{\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {u}}t+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {a}}t^{2})=2t({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})+a^{2}t^{2}=v^{2}-u^{2}}$$ $${\displaystyle \therefore v^{2}=u^{2}+2({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}})}$$ onde v = |v| etc.

As equações acima são válidas tanto para a mecânica newtoniana quanto para a relatividade especial. Onde a mecânica newtoniana e a relatividade especial diferem é em como diferentes observadores descreveriam a mesma situação. Em particular, na mecânica newtoniana, todos os observadores concordam com o valor de t e as regras de transformação para posição criam uma situação na qual todos os observadores não aceleradores descreveriam a aceleração de um objeto com os mesmos valores. Nenhuma das duas é verdadeira para a relatividade especial. Em outras palavras, apenas a velocidade relativa pode ser calculada.

Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define momento (momentum), p, como um vetor que é o produto da massa e velocidade de um objeto, dado matematicamente como $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$$ onde m é a massa do objeto.

A energia cinética de um objeto em movimento depende de sua velocidade e é dada pela equação^[10]$${\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$$ onde E_k é a energia cinética. A energia cinética é uma quantidade escalar, pois depende do quadrado da velocidade.

Na dinâmica de fluidos, o arrasto é uma força que atua em oposição ao movimento relativo de qualquer objeto que se move em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, ${\displaystyle F_{D}}$, depende do quadrado da velocidade e é dada como $${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A}$$ onde

• ${\displaystyle \rho }$ é a densidade do fluido;^[11]
• ${\displaystyle v}$ é a velocidade do objeto em relação ao fluido;
• ${\displaystyle A}$ é a área da seção transversal;
• ${\displaystyle C_{D}}$ é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.

A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo massivo como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando adicionada à energia potencial gravitacional do objeto (que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M é^[12]$${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$onde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e é independente da direção do objeto. Isso torna "velocidade de escape" um tanto impróprio, pois o termo mais correto seria "velocidade escalar de escape": qualquer objeto que atinja uma velocidade dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará a vizinhança do corpo base, desde que não intersecte com algo em seu caminho.

Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece frequentemente e é dado por^[13]$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ onde γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.

A velocidade relativa é uma medida da velocidade entre dois objetos determinada em um único sistema de coordenadas. A velocidade relativa é fundamental tanto na física clássica quanto na moderna, uma vez que muitos sistemas da física lidam com o movimento relativo de duas ou mais partículas.

Considere um objeto A movendo-se com vetor de velocidade v e um objeto B com vetor de velocidade w; essas velocidades absolutas são normalmente expressas no mesmo referencial inercial. Então, a velocidade do objeto A em relação ao objeto B é definida como a diferença dos dois vetores de velocidade: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{A{\text{ em relação a }}B}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {w}}}$$ Da mesma forma, a velocidade relativa do objeto B movendo-se com velocidade w, em relação ao objeto A movendo-se com velocidade v é: $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{B{\text{ em relação a }}A}={\boldsymbol {w}}-{\boldsymbol {v}}}$$ Normalmente, o referencial inercial escolhido é aquele em que o último dos dois objetos mencionados está em repouso.

Na mecânica newtoniana, a velocidade relativa é independente do referencial inercial escolhido. Este não é mais o caso da relatividade especial, na qual as velocidades dependem da escolha do referencial.

No caso unidimensional, as velocidades são escalares e a equação é: $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$ se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$ se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.

Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde há um eixo x e um eixo y, os componentes de velocidade correspondentes são definidos como:^[14] $${\displaystyle v_{x}=dx/dt}$$ $${\displaystyle v_{y}=dy/dt}$$ O vetor de velocidade bidimensional é então definido como ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y}>}$. A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula de distância como: $${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$$ Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, o componente de velocidade correspondente é definido como: $${\displaystyle v_{z}=dz/dt}$$ O vetor de velocidade tridimensional é definido como ${\displaystyle {\textbf {v}}=<v_{x},v_{y},v_{z}>}$ com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por: $${\displaystyle |v|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$$ Enquanto alguns livros didáticos usam a notação subscrita para definir componentes cartesianos de velocidade, outros usam ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, e ${\displaystyle w}$ para os eixos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, e ${\displaystyle z}$, respectivamente.^[15]

Em coordenadas polares, uma velocidade bidimensional é descrita por uma velocidade radial, definida como o componente da velocidade para longe ou em direção à origem, e uma velocidade transversal, perpendicular à radial.^[16][17] Ambas surgem da velocidade angular, que é a taxa de rotação em torno da origem (com quantidades positivas representando a rotação no sentido anti-horário e quantidades negativas representando a rotação no sentido horário, em um sistema de coordenadas destro).

As velocidades radial e transversal podem ser derivadas dos vetores de velocidade e deslocamento cartesianos decompondo o vetor de velocidade em componentes radial e transversal. A velocidade transversal é o componente da velocidade ao longo de um círculo centrado na origem. $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$ onde:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$ é a velocidade transversal;
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$ é a velocidade radial.

A velocidade escalar radial (ou magnitude da velocidade radial) é o produto escalar do vetor de velocidade e o vetor unitário na direção radial. $${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$ onde ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ é a posição e ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$ é a direção radial.

A velocidade escalar transversal (ou magnitude da velocidade transversal) é a magnitude do produto cruzado do vetor unitário na direção radial e o vetor de velocidade. É também o produto escalar da velocidade e a direção transversal, ou o produto da velocidade escalar angular ${\displaystyle \omega }$ e o raio (a magnitude da posição). $${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$ tal que: $${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}}$$ Momento angular na forma escalar é a massa vezes a distância até a origem vezes a velocidade transversal, ou equivalentemente, a massa vezes a distância ao quadrado vezes a velocidade escalar angular. A convenção de sinais para momento angular é a mesma que para velocidade angular. $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$ onde:

• ${\displaystyle m}$ é a massa;
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|}$

A expressão ${\displaystyle mr^{2}}$ é conhecida como momento de inércia. Se as forças estão na direção radial apenas com uma dependência inversa do quadrado, como no caso de uma órbita gravitacional, o momento angular é constante, e a velocidade escalar transversal é inversamente proporcional à distância, a velocidade escalar angular é inversamente proporcional à distância ao quadrado, e a taxa na qual a área é varrida é constante. Essas relações são conhecidas como leis de Kepler do movimento planetário.

• Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley; 7 Sub edition (em inglês) (16 de junho de 2004). ISBN 0-471-23231-9.

Referências

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