4-politop uniform

În geometrie un 4-politop uniform este un politop cvadridimensional izogonal, ale cărui celule sunt poliedre uniforme iar fețele sale sunt poligoane regulate.

Au fost descrise patruzeci și șapte de politopuri uniforme convexe neprismatice, o mulțime finită de forme prismatice convexe și două mulțimi infinite de forme prismatice convexe. Există, de asemenea, un număr necunoscut de forme neconvexe stelate.

Istoria descoperirilor[modificare | modificare sursă]

4-politopurile regulate convexe

În 1852 Ludwig Schläfli a demonstrat în manuscrisul său, Theorie der vielfachen Kontinuität (în română Teoria continuității multiple) că există exact 6 4-politopuri regulate și doar câte 3 în 5 sau mai multe dimensiuni.

4-politopuri stelate regulate

Tot în 1852 Ludwig Schläfli a găsit 4 din cele 10 4-politopuri stelate regulate, fără a număra pe cele 6 cu celule sau figura vârfului {⁵/₂,5} și {5,⁵/₂}.

În 1883 Edmund Hess în cartea sa Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (în română Introducere în teoria divizării bilelor cu o considerație specială asupra aplicării sale la teoria poliedrelor izoedrice și izogonale) a completat lista celor 10 4-politopuri neconvexe regulate.^[1]

4-politopurile semiregulate convexe

Politopurile semiregulate convexe au avut diferite definiții înainte de definirea categoriei uniforme de către Coxeter.

În 1900 Thorold Gosset în lucrarea sa On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions (în română Despre figurile regulate și semiregulate în spațiul cu n dimensiuni) a enumerat lista de politopuri convexe semiregulate neprismatice cu celule regulate (adică poliedre platonice).^[2]

În 1910 Alicia Boole Stott, în lucrarea sa Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, (în {{ro|Deducerea geometrică a politopurilor semiregulate din cele regulate și cele care umplu spațiul”, a extins definiția, acceptând și celulele de forma poliedrelor arhimedice și cele prismatice. În urma acestei relaxări a enumerat 45 de 4-politopuri semiregulate.^[3]

În 1911 Pieter Hendrik Schoute a publicat lucrarea Analytic treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes (în română Tratarea analitică a politopurilor derivate regulat din politopurile regulate), urmat de Boole-Stott, care a notat și enumerat politopurile uniforme convexe în funcție de simetrie, bazat pe 5-celule, 8-celule/16-celule și 24-celule.

În 1912 E. L. Elte a extins independent lista lui Gosset în lucrarea The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces (în română Politopurile semiregulate din hiperspații, politopuri cu unul sau două tipuri de fațete semiregulate.^[4]

4-politopurile uniforme convexe

În 1940 căutarea a fost extinsă sistematic de H.S.M. Coxeter în lucrarea sa Regular and Semi-Regular Polytopes (în română Politopuri regulate și semiregulate)

În 1965 John Horton Conway și Michael Guy au publicat în lucrarea lor Four-Dimensional Archimedean Polytopes (în română Politopuri arhimedice cvadridimensionale) lista completă a politopurilor convexe, stabilită prin analiză pe calculator, având și un 4-politop convex newythoffian, marea antiprismă.

În 1966 Norman Johnson în teza sa de doctorat The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs (în română Teoria politopurilor și fagurilor uniformi) elaborată sub conducerea lui Coxeter a completat teoria de bază a politopurilor uniforme din dimensiunile 4 și superioare.

În1986 Coxeter a publicat articolul Regular and Semi-Regular Polytopes II care cuprinde analiza structurii unice a24-celule snub și a simetriei anormalei mari antiprisme.

În 2004 Marco Möller în teza sa de doctorat Vierdimensionale Archimedische Polytope (în română Politopuri arhimedice cvadridimesnionale a dat o demonstrație că setul Conway–Guy este complet.^[5]

În 2008 Conway în The Symmetries of Things (în română Simetriile lucrurilor)^[6] a publicat prima listă tipărită a 4-politopurilor uniforme convexe și a politopurilor din dimensiuni superioare din familia grupului Coxeter, cu diagrame generale ale figurilor vârfurilor pentru fiecare permutare inelată din diagramele Coxeter — snub, marea antiprismă și duoprisme — pe care le-a numit proprisme pentru prismele produsului. El și-a folosit propria schemă de denumire ijk-ambo pentru permutările inelului indexat dincolo de trunchiere și bitrunchiere, iar toate numele lui Johnson au fost incluse în indexul cărții.

4-politopurile stelate uniforme neregulate

Până în 2005, într-o cercetare în colaborare, Jonathan Bowers și George Olshevsky au identificat 1845 de 4-politopuri uniforme (convexe și neconvexe),^[7] iar în 2006 au mai identificat 4.^[8]

Până în 2020–2021 au mai fost descoperite 339 de politopuri noi, ridicând totalul 4-politopurilor uniforme cunoscute la 2188.^[9]

4-politopuri regulate[modificare | modificare sursă]

4-politopurile regulate sunt un subset al 4-politopurilor uniforme, care îndeplinesc cerințe suplimentare. 4-politopurile regulate sunt descrise de simbolurile Schläfli {p,q,r}, au celule de tipul {p,q}, fețe de tipul {p}, laturi de tipul {r}, și figuri ale vârfului de tipul {q,r}.

Existența unui 4-politop regulat {p,q,r} este condiționată de existența poliedrelor regulate {p,q}, care va fi celulele și {q,r} care va fi figura vârfului.

Existența unui 4-politop finit este condiționată de inegalitatea:^[10]

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).}$

Cele 16 4-politopuri regulate, având proprietatea că toate celulele, fețele, laturile și vârfurile sunt congruente sunt:

• 6 4-politopuri regulate convexe: 5-celule {3,3,3}, 8-celule {4,3,3}, 16-celule {3,3,4}, 24-celule {3,4,3}, 120-celule {5,3,3} și 600-celule {3,3,5}.
• 10 4-politopuri regulate stelate: 120-celule icosaedric {3,5,⁵/₂}, micul 120-celule stelat {⁵/₂,5,3}, marele 120-celule {5,⁵/₂,5}, largul 120-celule {5,3,⁵/₂}, marele 120-celule stelat {⁵/₂,3,5}, largul 120-celule stelat {⁵/₂,5,⁵/₂}, marele larg 120-celule {5,⁵/₂,3}, marele 120-celule icosaedric {3,⁵/₂,5}, largul 600-celule {3,3,⁵/₂} și marele larg 120-celule stelat {⁵/₂,3,3}.

4-politopuri uniforme convexe[modificare | modificare sursă]

Simetria 4-politopurilor uniforme în patru dimensiuni[modificare | modificare sursă]

Există 5 familii fundamentale de grupuri punctuale de simetrii în oglindă în 4-dimensiuni: A₄ = , B₄ = , D₄ = , F₄ = , H₄ = .^[11] Există și 3 grupuri prismatice: A₃A₁ = , B₃A₁ = , H₃A₁ = și grupurile duoprismatice: I₂(p)×I₂(q) = . Fiecare grup este definit pe domeniul fundamental al unui tetraedru Goursat delimitat de plane de reflexie.

Orice 4-politop uniform construit prin reflexii face parte dintr-unul sau mai multe grupuri punctuale de reflexii în 4 dimensiuni printr-o construcție Wythoff, caracterizată de inele în jurul permutărilor nodurilor într-o diagramă Coxeter. Hiperplanele oglinzilor pot fi grupate folosind noduri colorate separate prin ramuri pare. Grupurile de simetrie de forma [a,b,a], au o simetrie extinsă, [[a,b,a]], dublând ordinul de simetrie. Acestea includ [3,3,3], [3,4,3] și [p,2,p]. Politopurile uniforme din acest grup cu inele simetrice conțin această simetrie extinsă.

Dacă într-un politop uniform dat toate oglinzile de o anumită culoare sunt neinelate (inactive), acesta va avea un ordin de simetrie mai mic prin eliminarea tuturor oglinzilor inactive. Dacă toate nodurile unei anumite culori sunt inelate (active), operatorul alternare poate genera un nou 4-politop cu simetrie chirală, prezentat ca „noduri goale încercuite”, dar geometria nu este întotdeauna susceptibilă de a crea soluții uniforme.

Grup Weyl	Cuaternion Conway	Structură abstractă	Ordin	Diagramă Coxeter		Notație Coxeter	Subgrup comutator	Număr Coxeter (h)	Oglinzi m=2h
Ireductibile
A4	+1/60[I×I].21	S5	120			[3,3,3]	[3,3,3]+	5		10
D4	±1/3[T×T].2	1/2.2S4	192			[31,1,1]	[31,1,1]+	6		12
B4	±1/6[O×O].2	2S4 = S2≀S4	384			[4,3,3]		8	4	12
F4	±1/2[O×O].23	3.2S4	1152			[3,4,3]	[3+,4,3+]	12	12	12
H4	±[I×I].2	2.(A5×A5).2	14400			[5,3,3]	[5,3,3]+	30		60
Grupuri prismatice
A3A1	+1/24[O×O].23	S4×D1	48			[3,3,2] = [3,3]×[ ]	[3,3]+	-		6	1
B3A1	±1/24[O×O].2	S4×D1	96			[4,3,2] = [4,3]×[ ]		-	3	6	1
H3A1	±1/60[I×I].2	A5×D1	240			[5,3,2] = [5,3]×[ ]	[5,3]+	-		15	1
Grupuri duoprismatice (Use 2p,2q pentru întregi pari)
I2(p)I2(q)	±1/2[D2p×D2q]	Dp×Dq	4pq			[p,2,q] = [p]×[q]	[p+,2,q+]	-		p	q
I2(2p)I2(q)	±1/2[D4p×D2q]	D2p×Dq	8pq			[2p,2,q] = [2p]×[q]		-	p	p	q
I2(2p)I2(2q)	±1/2[D4p×D4q]	D2p×D2q	16pq			[2p,2,2q] = [2p]×[2q]		-	p	p	q	q

Enumerare[modificare | modificare sursă]

Există 64 de politopuri uniforme convexe, inclusiv cele 6 politopuri convexei regulate, excluzând mulțimile infinite ale duoprismelor și ale prismelor antiprismatice.

• 5 sunt prisme poliedrice bazate pe poliedrele platonice s (1 se suprapune cu cele regulate, deoarece o hiperprismă cubică este un tesseract)
• 13 sunt prisme poliedrice bazate pe poliedrele arhimedice
• 9 sunt în familia grupului autodual regulat A₄ [3,3,3] din familia 5-celule
• 9 sunt în grupul autodual regulat F₄ [3,4,3] din familia 24-celule (fără 24-celule snub)
• 15 sunt în grupul regulat B₄ [3,3,4] din familia tesseract/16-celule (3 se suprapun cu camilia 24-celule)
• 15 sunt în grupul regulat H₄ [3,3,5] din familia 120-celule/600-celule.
• 1 caz particular snub din grupul [3,4,3] din familia 24-celule.
• 1 caz particular newythoffian, marea antiprismă.

TOTAL: 68 − 4 = 64

Aceste 64 de politopuri uniforme sunt enumerate mai jos de George Olshevsky. Formele de simetrie repetate sunt indicate între paranteze.

În plus față de cele 64 de mai sus există 2 mulțimi prismatice infinite care generează toate formele convexe rămase:

• Mulțimea hiperprismelor antiprismatice uniforme — sr{p,2}×{ } — prisme poliedrice de două antiprisme.
• Mulțimea duoprismelor uniforme — {p}×{q} — produsul cartezian al două poligoane.

Familia A₄[modificare | modificare sursă]

5-celule are simetrie 4-simplectică [3,3,3],^[11] de ordinul 120, izomorfă cu permutările a cinci elemente, deoarece toate perechile de vârfuri sunt legate în același mod.

Fațetele (celulele) sunt date, grupate în pozițiile lor din diagrama Coxeter, prin eliminarea nodurilor specificate.

Politopuri uniforme [3,3,3]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție				Numărul elementelor
				Poz. 3 (5)	Poz. 2 (10)	Poz. 1 (10)	Poz. 0 (5)	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
1	5-celule[11]		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	5-celule rectificat		r{3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	5-celule trunchiat		t{3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	5-celule cantelat		rr{3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
7	5-celule cantitrunchiat		tr{3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	5-celule runcitrunchiat		t0,1,3{3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60

Politopuri uniforme [[3,3,3]]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție			Numărul elementelor
				Poz. 3-0 (10)	Poz. 1-2 (20)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
5	*5-celule runcinat		t0,3{3,3,3}	(2) (3.3.3)	(6) (3.4.4)		30	70	60	20
6	*5-celule bitrunchiat		2t{3,3,3}	(4) (3.6.6)			10	40	60	30
9	*5-celule omnitrunchiat		t0,1,2,3{3,3,3}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.6)		30	150	240	120
Neuniform	5-celule omnisnub[12]		ht0,1,2,3{3,3,3}	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	90	300	270	60

Cele trei forme de 4-politopuri uniforme marcate cu un asterisc, *, au cea mai mare simetrie 4-tetraedrică extinsă, de ordinul 240, [[3,3,3]] deoarece elementul corespunzător oricărui element al 5-celulei de bază poate fi schimbat cu unul dintre cele corespunzătoare unui element al dualului său. Există un mic subgrup indice [3,3,3]⁺, de ordin 60, sau dublul acestuia [[3,3,3]]⁺, de ordin 120, definind un 5 celule omnisnub care este listat pentru completare, dar nu este uniform.

Familia B₄[modificare | modificare sursă]

Această familie are simetrie 4-ortoplectică [4,3,3],^[11] de ordinul 24 × 16 = 384: 4! = 24 permutări ale celor 4 axe, respectiv 2⁴ = 16 reflexii față de fiecare axă. Există 3 mici subgrupuri indice, dintre care primele două generează 4-politopuri uniforme care se repetă și în alte familii, [1⁺,4,3,3], [4,(3,3)⁺] și [4,3,3]⁺, toate de ordinul 192.

Trunchieri ale tesseractului[modificare | modificare sursă]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție					Numărul elementelor
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
10	tesseract sau 8-celule		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	Tesseract rectificat	r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	Tesseract trunchiat		t{4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	Tesseract cantelat		rr{4,3,3}	(1) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	Tesseract runcinat (și 16-celule runcinat)		t0,3{4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	Tesseract bitrunchiat (și 16-celule bitrunchiat)		2t{4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	Tesseract cantitrunchiat		tr{4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	Tesseract runcitrunchiat		t0,1,3{4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	Tesseract omnitrunchiat (și 16-celule omnitrunchiat)		t0,1,2,3{3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384

4-politopuri uniforme asociate cu semitesseractul, [1⁺,4,3,3]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție					Numărul elementelor
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
12	Semitesseract 16-celule		= h{4,3,3}={3,3,4}	(4) (3.3.3)				(4) (3.3.3)	16	32	24	8
[17]	Tesseract cantic (sau 16-celule trunchiat)		= h2{4,3,3}=t{4,3,3}	(4) (6.6.3)			(1) (3.3.3.3)		24	96	120	48
[11]	Tesseract runcic (sau tesseract rectificat)		= h3{4,3,3}=r{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)		24	88	96	32
[16]	Tesseract runcicantic (sau tesseract bitrunchiat)		= h2,3{4,3,3}=2t{4,3,3}	(2) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[11]	(Tesseract rectificat)		= h1{4,3,3}=r{4,3,3}						24	88	96	32
[16]	(Tesseract bitrunchiat)		= h1,2{4,3,3}=2t{4,3,3}						24	120	192	96
[23]	(24-celule rectificat)		= h1,3{4,3,3}=rr{3,3,4}						48	240	288	96
[24]	(24-celule trunchiat)		= h1,2,3{4,3,3}=tr{3,3,4}						48	240	384	192

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție					Numărul elementelor
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
Neuniform	Tesseract omnisnub[13] (sau 16-celule omnisnub)		ht0,1,2,3{4,3,3}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	272	944	864	192

Trunchieri ale 16-celulei[modificare | modificare sursă]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție					Numărul elementelor
				Poz. 3 (8)	Poz. 2 (24)	Poz. 1 (32)	Poz. 0 (16)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
[12]	16-celule[11]		{3,3,4}				(8) (3.3.3)		16	32	24	8
[22]	*16-celule rectificat (același cu 24-celule)		= r{3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)		24	96	96	24
17	16-celule trunchiat		t{3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)		24	96	120	48
[23]	*16-celule cantelat (același cu 24-celule rectificat)		= rr{3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)		48	240	288	96
[15]	16-celule runcinat (și 8-celule runcinat)		t0,3{3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		80	208	192	64
[16]	16-celule bitrunchiat (și 8-celule bitrunchiat)		2t{3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)		24	120	192	96
[24]	*16-celule cantitrunchiat (același cu 24-celule trunchiat)		= tr{3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)		48	240	384	192
20	16-celule runcitrunchiat		t0,1,3{3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)		80	368	480	192
[21]	16-celule omnitrunchiat (și 8-celule omnitrunchiat)		t0,1,2,3{3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		80	464	768	384
[31]	16-celule cantitrunchiat alternat (același cu 24-celule snub)		sr{3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)		(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Neuniform	16-celule rectificat runcic snub		sr3{3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(2) (3.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)	176	656	672	192

(*) Așa cum rectificarea tetraedrului produce octaedrul, rectificarea 16-celulei produce 24-celule, membru regulat al familiei următoare.

24-celule snub este repetat în această familie pentru completitudine. Este o alternare a 16-celule cantitrunchiat sau 24-celule trunchiat, cu grupul jumătății de simetrie [(3,3)⁺,4]. Celulele octaedrice trunchiate devin icosaedre. Cuburile devin tetraedre, iar 96 de tetraedre noi sunt create în golurile lăsate de vârfurile eliminate.

Familia F₄[modificare | modificare sursă]

Acestă familie are simetrie octaplectică,^[11] [3,4,3], de ordinul 24 × 48 = 1152: cele 48 de simetrii ale octaedrului pentru fiecare din cele 24 de celule. Există 3 mici subgrupuri indice, dintre care primele două generează 4-politopuri uniforme care se repetă și în alte familii, [3⁺,4,3], [3,4,3⁺] și [3,4,3]⁺, toate de ordinul 576.

4-politopuri uniforme [3,4,3]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție				Numărul elementelor
				Poz. 3 (24)	Poz. 2 (96)	Poz. 1 (96)	Poz. 0 (24)	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
22	24-celule[11] (același cu 16-celule rectificat)		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	24-celule rectificat (același cu 16-celule cantelat)		r{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	24-celule trunchiat (același cu 16-celule cantitrunchiat)		t{3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	24-celule cantelat		rr{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
28	24-celule cantitrunchiat		tr{3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	24-celule runcitrunchiat		t0,1,3{3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576

4-politopuri uniforme [3⁺,4,3]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție					Numărul elementelor
				Poz. 3 (24)	Poz. 2 (96)	Poz. 1 (96)	Poz. 0 (24)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
31	24-celule snub†		s{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)			(1) (3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96
Neuniform	24-celule snub runcic		s3{3,4,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(2) (3.4.4)		(1) (3.6.6)	(3) Tricup	240	960	1008	288
[25]	24-celule snub cantic (același cu 24-celule cantelat)		s2{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)			(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4)	144	720	864	288
[29]	24-celule snub runcicantic (același cu 24-celule runcitrunchiat)		s2,3{3,4,3}	(1) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(2) (4.4.6)	240	1104	1440	576

^† Aici 24-celule snub, în ciuda numelui său comun, nu este analog cu cubul snub; mai degrabă este derivat printr-o alternare a 24-celule trunchiat. Ordinul său de simetrie este de numai 576, (grupul [3⁺,4,3]).

Ca și 5-celule, 24-celule este autodual, astfel că următoarele trei forme au de două ori mai multe simetrii, în total 2304 ([[3,4,3]]).

4-politopuri uniforme [[3,4,3]]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Nr. celulelor din poziție		Numărul elementelor
				Poz. 3-0 (48)	Poz. 2-1 (192)	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
26	24-celule runcinat		t0,3{3,4,3}	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.4.4)	240	672	576	144
27	24-celule bitrunchiat		2t{3,4,3}	(4) (3.8.8)		48	336	576	288
30	24-celule omnitrunchiat		t0,1,2,3{3,4,3}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.6)	240	1392	2304	1152

4-politopuri izogonale [[3,4,3]]⁺

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție			Numărul elementelor
				Poz. 3-0 (48)	Poz. 2-1 (192)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
Neuniform	24-celule omnisnub[14]		ht0,1,2,3{3,4,3}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	816	2832	2592	576

Familia H₄[modificare | modificare sursă]

Această familie are simetrie dodecaplectică,^[11] [5,3,3], de ordinul 120 × 120 = 24 × 600 = 14400: 120 pentru fiecare din cele 120 de dodecaedre, sau 24 pentru fiecare din cele 600 de tetraedre. Există un mic subgrup indice, [5,3,3]⁺, toate de ordinul 7200.

Trunchieri ale 120-celulei[modificare | modificare sursă]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Numărul celulelor din poziție					Numărul elementelor
				Poz. 3 (120)	Poz. 2 (720)	Poz. 1 (1200)	Poz. 0 (600)	Alt	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
32	120-celule[11]		{5,3,3}	(4) (5.5.5)					120	720	1200	600
33	120-celule rectificat		r{5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)		720	3120	3600	1200
36	120-celule trunchiat		t{5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)		720	3120	4800	2400
37	120-celule cantelat		rr{5,3,3}	(1) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)		1920	9120	10800	3600
38	120-celule runcinat (și 600-celule runcinat)		t0,3{5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)		2640	7440	7200	2400
39	120-celule bitrunchiat (și 600-celule bitrunchiat)		2t{5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)		720	4320	7200	3600
42	120-celule cantitrunchiat		tr{5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)		1920	9120	14400	7200
43	120-celule runcitrunchiat		t0,1,3{5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)		2640	13440	18000	7200
46	120-celule omnitrunchiat (și 600-celule omnitrunchiat)		t0,1,2,3{5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)		2640	17040	28800	14400
Neuniform	120-celule omnisnub[15] (același cu 600-celule omnisnub)		ht0,1,2,3{5,3,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	9840	35040	32400	7200

Trunchieri ale 600-celulei[modificare | modificare sursă]

Nr.	Nume	Figura vârfului	Diagramă Coxeter și simbol Schläfli	Simetrie	Numărul. celulelor din poziție				Numărul elementelor
					Poz. 3 (120)	Poz. 2 (720)	Poz. 1 (1200)	Poz. 0 (600)	Celule	Fețe	Laturi	Vârfuri
35	600-celule[11]		{3,3,5}	[5,3,3] ordin 14400				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
[47]	600-celule 20-diminuat (marea antiprismă)		Construcție newythoffiană	[[10,2+,10]] ordin 400 indice 36	(2) (3.3.3.5)			(12) (3.3.3)	320	720	500	100
[31]	600-celule 24-diminuat (24-celule snub)		Construcție newythoffiană	[3+,4,3] order 576 index 25	(3) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3)	144	480	432	96
Nonuniform	600-celule bi-24-diminuat		Construcție newythoffiană	ordin 144 index 100	(6) tdi				48	192	216	72
34	600-celule rectificat		r{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
Neuniform	600-celule rectificat 120-diminuat		Construcție newythoffiană	ordin 1200 index 12	(2) 3.3.3.5	(2) 4.4.5		(5) P4	840	2640	2400	600
41	600-celule trunchiat		t{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	600-celule cantelat		rr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	600-celule runcinat (și 120-celule runcinat)		t0,3{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	600-celule bitrunchiat (și 120-celule bitrunchiat)		2t{3,3,5}	[5,3,3]	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	600-celule cantitrunchiat		tr{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	600-celule runcitrunchiat		t0,1,3{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	600-celule omnitrunchiat (și 120-celule omnitrunchiat)		t0,1,2,3{3,3,5}	[5,3,3]	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

Familia D₄[modificare | modificare sursă]

Familia semitesseractelor, [3^1,1,1], nu produce noi 4-politop