Funcție simetrică

În matematică, o funcție de variabile este simetrică dacă valoarea ei este aceeași, indiferent de ordinea argumentelor sale. De exemplu, o funcție de două argumente este o funcție simetrică dacă și numai dacă pentru toate și astfel încât și sunt în domeniul lui Cele mai frecvent întâlnite funcții simetrice sunt funcțiile polinomiale, care sunt date de polinoamele simetrice⁠(d).

Fiind dată o funcție cu variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale Singurul caz general în care poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.

Prin definiție, o funcție simetrică cu variabile are proprietatea că
În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz
și așa mai departe pentru toate permutările lui
  • Fie funcția
Dacă și sunt interschimbate, funcția devine
care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială
  • Fie acum funcția
Dacă și sunt interschimbate, funcția devine
Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă ceea ce o face nesimetrică.
  • en F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
  • en Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-73794-4.