Funcție simetrică
Deși acest articol conține o listă de referințe bibliografice, sursele sale rămân neclare deoarece îi lipsesc notele de subsol. Puteți ajuta introducând citări mai precise ale surselor. Întrucât este un articol tradus, a se vedea pagina de discuție, iar articolul de origine nu are nici el note de subsol, puteți ajuta și supraveghind acel articol, iar când acolo apar note de subsol, copiați-le și aici. |
În matematică, o funcție de variabile este simetrică dacă valoarea ei este aceeași, indiferent de ordinea argumentelor sale. De exemplu, o funcție de două argumente este o funcție simetrică dacă și numai dacă pentru toate și astfel încât și sunt în domeniul lui Cele mai frecvent întâlnite funcții simetrice sunt funcțiile polinomiale, care sunt date de polinoamele simetrice(d).
Simetrizare
[modificare | modificare sursă]Fiind dată o funcție cu variabile, cu valori într-un grup abelian, o funcție simetrică poate fi construită prin însumarea valorilor lui peste toate permutările argumentelor. Similar, o funcție antisimetrică poate fi construită prin însumarea permutărilor pare și scăderea permutărilor impare. Aceste operații nu sunt inversabile și ar putea avea ca rezultat o funcție care este zero pentru funcțiile netriviale Singurul caz general în care poate fi dedusă dacă se cunosc atât simetrizarea cât și antisimetrizarea este atunci când și grupul abelian admite o împărțire cu 2 (inversa dublării); atunci este egală cu jumătate din suma simetrizării și antisimetrizării sale.
Exemple
[modificare | modificare sursă]- Fie funcția reală
- Prin definiție, o funcție simetrică cu variabile are proprietatea că
- În general, funcția rămâne aceeași pentru orice permutare a variabilelor sale. Aceasta înseamnă că în acest caz
- și așa mai departe pentru toate permutările lui
- Fie funcția
- Dacă și sunt interschimbate, funcția devine
- care dă exact aceleași rezultate ca și funcția inițială
- Fie acum funcția
- Dacă și sunt interschimbate, funcția devine
- Această funcție nu este aceeași cu cea inițială dacă ceea ce o face nesimetrică.
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- en F. N. David, M. G. Kendall, D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
- en Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-73794-4.