Реализация джойна двух отрезков (синего и зелёного) как подмножества в трёхмерном пространстве. Джойном является весь трёхмерный многогранник. Джойн (от англ. join — «соединение») — конструкция в топологии , по двум топологическим пространствам дающая третье. Интуитивная интерпретация джойна — это множество всех отрезков, начинающихся в любой точке первого множества и заканчивающихся в любой точке второго.
Для двух топологических пространств A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} джойн A ∗ B {\displaystyle A\ast B} определяется как факторпространство
( A × B × [ 0 , 1 ] ) / ∼ , {\displaystyle (A\times B\times [0,1])/\sim ,} по минимальному отношению эквивалентности « ∼ {\displaystyle \sim } » такому, что
( a , b 1 , 0 ) ∼ ( a , b 2 , 0 ) при a ∈ A и b 1 , b 2 ∈ B , {\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{при}}\quad a\in A\quad {\mbox{и}}\quad b_{1},b_{2}\in B,} ( a 1 , b , 1 ) ∼ ( a 2 , b , 1 ) при a 1 , a 2 ∈ A и b ∈ B . {\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{при}}\quad a_{1},a_{2}\in A\quad {\mbox{и}}\quad b\in B.} Таким образом, отображение из ( A × B × [ 0 , 1 ] ) / ∼ , {\displaystyle (A\times B\times [0,1])/\sim ,} в джойн стягивает A × B × { 0 } {\displaystyle A\times B\times \{0\}} на A {\displaystyle A} и A × B × { 1 } {\displaystyle A\times B\times \{1\}} на B {\displaystyle B} .
Джойн пространства A {\displaystyle A} и точки p t {\displaystyle pt} называется конусом над A {\displaystyle A} и обозначается C ( A ) {\displaystyle C(A)} . Джойн пространства A {\displaystyle A} и нуль-мерной сферы S 0 {\displaystyle \mathbb {S} ^{0}} (то есть дискретного пространства из двух точек) называется надстройкой над A {\displaystyle A} и обозначается S ( A ) {\displaystyle \mathbb {S} (A)} . Джойн двух сфер S m {\displaystyle \mathbb {S} ^{m}} и S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} — это сфера S m + n + 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{m+n+1}} . Конус над джойном двух пространств A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} гомеоморфен произведению их конусов. Иначе говоря, C ( A ∗ B ) ≅ C ( A ) × C ( B ) . {\displaystyle C(A\ast B)\cong C(A)\times C(B).} Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : Фазис, 1997. — 132 с. Хатчер А. Алгебраическая топология = Algebraic Topology. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.