Производная Гато

Произво́дная Гато́ — расширение концепции производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Ренэ́ Гато́^[англ.].

Определение[править | править код]

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — нормированные пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle F}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Если для некоторого ${\displaystyle x\in X}$ и некоторого ${\displaystyle h\in X}$ существует предел (сходимость понимается по норме пространства ${\displaystyle Y}$)

${\displaystyle dF(x,h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0}{F(x+t\cdot h)-F(x) \over t},}$

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$). Отображение ${\displaystyle dF(x,h)}$ также называют первой вариацией отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$).

Дифференциал Гато обладает свойством однородности: если определён ${\displaystyle dF(x,h)}$, то для любого ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ будет определён ${\displaystyle dF(x,k\cdot h)=k\cdot dF(x,h)}$.

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по ${\displaystyle h}$. Если линейность имеет место, то есть

${\displaystyle dF(x,h)=F'(x)\ h,}$

где ${\displaystyle F'(x)}$ — ограниченный линейный оператор, то ${\displaystyle F'(x)}$ называется слабой производной (или производной Гато) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$.

См. также[править | править код]

• Производная Фреше

Литература[править | править код]

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление — Любое издание.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставить сноски, внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.