Треугольник Шварца

Треугольник Шварца — сферический треугольник, который можно использовать для создания мозаики на сфере, возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года^[1].

Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.

Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет исключительных объектов^[англ.].

Пространство решений[править | править код]

Фундаментальная область в виде треугольника (p q r) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1}$ Сфера

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1}$ Евклидова плоскость

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$ Гиперболическая плоскость

Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.

Графическое представление[править | править код]

Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф. Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/внешний угол.

Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.

Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как (p q r) для циклических графов, (p q 2) = [p,q] для прямоугольных треугольников) и (p 2 2) = [p]×[].

Список треугольников Шварца[править | править код]

Треугольники Мёбиуса на сфере[править | править код]

(2 2 2) или [2,2]	(3 2 2) или [3,2]	...
(3 3 2) или [3,3]	(4 3 2) или [4,3]	(5 3 2) или [5,3]

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса, включают однопараметрическое семейство и три исключительных^[англ.] случая:

1. [p,2] или (p 2 2) – диэдральная симметрия,
2. [3,3] или (3 3 2) – Тетраэдральная симметрия,
3. [4,3] или (4 3 2) – Октаэдральная симметрия^[англ.],
4. [5,3] или (5 3 2) – Икосаэдральная симметрия,

Треугольники Шварца на сфере, сгруппированные по плотности[править | править код]

Треугольники Шварца (p q r), сгруппированные по плотности^[англ.]:

Треугольники на евклидовой плоскости[править | править код]

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

Плотность 1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 (равносторонний)
2. (4 4 2) – 45-45-90^[англ.] (равнобедренный прямоугольный)
3. (6 3 2) – 30-60-90^[англ.]
4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "треугольник"

Плотность 2:

1. (6 6 3/2) - 120-30-30 треугольник

Плотность ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

Треугольники на гиперболической плоскости[править | править код]

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Фундаментальные области треугольников (p q r)

Плотность 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

Плотность 3:

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Плотность 4:

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Плотность 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...

Плотность 10:

• (3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является группой треугольников (2,3,7)^[англ.], которая является универсальной группой для всех групп Гурвица^[англ.] — максимальных групп изометрий римановых поверхностей. Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа, которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это квартика Клейна^[англ.].

Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца, высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы Антони В. Кнаппом (англ. Anthony W. Knapp) в статье 1968 года^[2]. Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года^[3].

См. также[править | править код]

• Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца
• Символ Витхоффа^[англ.]
• Построение Витхоффа
• Однородный многогранник
• Невыпуклый однородный многогранник^[англ.]
• Плотность политопа^[англ.]
• Тетраэдр Гурса
• Правильные однородные мозаики^[англ.]
• Однородные мозаики на гиперболической плоскости

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Schwarz triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• KlitzingPolytopes The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.