Sínus

O iných významoch výrazu Sínus pozri Sínus (rozlišovacia stránka).

Sínus patrí medzi goniometrické funkcie. V pravouhlom trojuholníku je definovaný ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny k uhlu a dĺžky prepony trojuholníka. Graf funkcie sínus sa nazýva sínusoida alebo sínusovka.

Latinské slovo „Sinus“ znamená „ohyb, zakrivenie, alebo prsia“. V tomto význame bolo slovo prevzaté od arabských matematikov, ktorí si slovo „jiba“ (جيب) „vrecko, záhyb látky“ požičali od indických matematikov (Sanskrit „jiva“ ‘tetiva‘ - odvodené od zakriveného priebehu vlákna, ktoré je navinuté na palici vo forme závitu.).

Funkcia ${\displaystyle y=\sin x\,\!}$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

• Definičný obor: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reálne čísla)
• Obor hodnôt: ${\displaystyle \langle -1;1\rangle }$
• Funkcia je rastúca: v každom intervale ${\displaystyle \langle -{\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \rangle }$
• Funkcia je klesajúca: v každom intervale ${\displaystyle \langle {\frac {\pi }{2}}+2k\pi ;-{\frac {\pi }{2}}+2(k+1)\pi \rangle }$
• Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode: ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$
• Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}+2k\pi }$
• Derivácia funkcie: ${\displaystyle y'=\cos x\,\!}$
• Integrál: ${\displaystyle \int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+c}$
• Taylorov rad: ${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
• Inverzná funkcia: arkus sínus (arcsin), je to inverzná funkcia k funkcii sínus zúženej na interval ${\displaystyle [-\pi /2,+\pi /2]}$
• Sínus je funkcia:
  • nepárna
  • ohraničená zhora i zdola
  • periodická s periódou ${\displaystyle 2\pi }$

Funkcia sínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

${\displaystyle \sin z=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

${\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},}$

${\displaystyle \sin \left(z_{1}+z_{2}\right)=\sin z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\sin z_{2},}$

${\displaystyle \sin iz=i\sinh z,\,}$

Tieto vzorce vyplývajú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Sínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Niekedy je výhodné definovať funkciu sínus ako riešenie Cauchyho úlohy

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0,\ y(0)=0,y'(0)=1.}$

• Sínusová veta

• Funkcia sínus
• Funkcia sínus

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Sínus