Cauchys integralsats

Cauchys integralsats i komplex analys är ett viktigt verktyg för beräkningar av kurvintegraler i det komplexa talplanet. Satsen fastslår att kurvintegralerna över två kurvor med samma ändpunkter för en funktion som är analytisk innanför kurvorna är desamma.

Integralsatsen för en sluten kurva lyder: låt U ⊂ C och låt f : U → C vara en analytisk funktion definierad på det enkelt sammanhängande området U. Då gäller för kurvan C ⊂ U med samma start- och slutpunkt:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=0}$

Om man antar att partiella derivatorna av en analytisk funktion är kontinuerliga, kan Cauchys integralsats bevisas som en direkt konsekvens av Greens sats tillsammans med att reella och imaginära delarna av ${\displaystyle f=u+iv}$ måste satisfiera Cauchy–Riemanns ekvationer i regionen begränsad av ${\displaystyle \gamma }$, och vidare i öppna omgivningen U av denna region. Cauchy gav detta bevis, men Goursat gav senare ett bevis som inte krävde vektorkalkyl eller kontinuiteten av partiella derivator.

Vi kan dela integranden ${\displaystyle f}$ och differentialen ${\displaystyle dz}$ i deras reella och imaginära delar:

${\displaystyle \displaystyle f=u+iv}$

${\displaystyle \displaystyle dz=dx+i\,dy.}$

I detta fall har vi

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy).}$

Enligt Greens sats kan vi ersätta integralerna runt den slutna konturen ${\displaystyle \gamma }$ med en areaintegral över domänen ${\displaystyle D}$ som omslutes av ${\displaystyle \gamma }$ på följande vis:

${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$

Men eftersom ${\displaystyle u}$ och ${\displaystyle v}$ är den reella och imaginära delen av en analytisk funktion i domänen ${\displaystyle D}$ måste de satisfiera Cauchy–Riemanns ekvationer i den:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.}$

Härmed är båda integrander (och alltså även integralerna) noll:

${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$

${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0.}$

Detta ger resultatet

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

• Cauchys integralformel
• Moreras sats
• Residysatsen

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cauchy's integral theorem, 18 januari 2015.

• Kodaira, Kunihiko (2007), Complex Analysis, Cambridge Stud. Adv. Math., 107, CUP, ISBN 978-0-521-80937-5 
• Ahlfors, Lars (2000), Complex Analysis, McGraw-Hill series in Mathematics, McGraw-Hill, ISBN 0-07-000657-1 
• Lang, Serge (2003), Complex Analysis, Springer Verlag GTM, Springer Verlag 
• Rudin, Walter (2000), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill series in mathematics, McGraw-Hill