Tsiolkovskijs raketekvation

Tsiolkovskijs raketekvation, uppkallad efter Konstantin Tsiolkovskij som var en av flera som självständigt formulerade ekvationen, behandlar funktionen hos en raket: en farkost som kan accelerera sig själv genom att stöta ifrån sig delar av sin egen massa (reaktionsmassa) i hög fart i motsatt håll.

Raketekvationen lyder som följer: för varje raketmanöver, eller sekvens av raketmanövrar gäller:

${\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

eller

${\displaystyle m_{1}=m_{0}e^{-\Delta v/v_{e}}}$

som är likvärdigt med:

${\displaystyle m_{0}=m_{1}e^{\Delta v/v_{e}}}$

där ${\displaystyle m_{0}}$ är den ursprungliga massan, ${\displaystyle m_{1}}$ är massan efter manövern/manövrarna, och ${\displaystyle v_{e}}$ är hastigheten hos raketens avgas i relation till raketen.

${\displaystyle 1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta v/v_{e}}}$ är den del av ursprungsmassan som används som reaktionsmassa.

Raketekvationen härleddes självständigt av Konstantin Tsiolkovskij mot slutet av 1800-talet och är allmänt förknippad med hans namn. Dock visar en nyligen upptäckt pamflett "A Treatise on the Motion of Rockets" av William Moore^[1] att den tidigaste kända härledningen gjordes 1813 vid Royal Military Academy i Woolwich i England. Ekvationen tillämpades då för vapenforskning.

Betrakta följande system:

I denna härledning syftar "raketen" på raketen samt allt icke-förbrukat bränsle.

Newtons andra lag relaterar sambandet mellan alla externa krafter (${\displaystyle F_{i}\,}$) till förändringen i rörelsemoment för hela systemet enligt följande:

${\displaystyle \sum F_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}}{\Delta t}}}$

där ${\displaystyle P_{1}\,}$är rörelsemängden för raketen vid tiden ${\displaystyle t=0}$:

${\displaystyle P_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V}$

och ${\displaystyle P_{2}\,}$ är rörelsemänden för raketen och det förbrukade bränslet vid tiden ${\displaystyle t=\Delta t\,}$:

${\displaystyle P_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV_{\text{e}}}$

och där, ur en observatörs perspektiv:

${\displaystyle V\,}$ är raketens hastighet vid tiden ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle V+\Delta V\,}$är raketens hastighet vid tiden ${\displaystyle t=\Delta t\,}$

${\displaystyle V_{\text{e}}\,}$ är hastigheten av den massa som utgör det förbrända bränslet under tiden ${\displaystyle \Delta t\,}$

${\displaystyle m+\Delta m\,}$ är raketens massa vid tiden ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle m\,}$ är raketens massa vid tiden ${\displaystyle t=\Delta t\,}$

Hastigheten av det förbrända bränslet ${\displaystyle V_{\text{e}}}$ i observatörens perspektiv är relaterat till hastigheten av det förbrända bränslet raketens perspektiv ${\displaystyle v_{\text{e}}}$ genom (eftersom det förbrända bränslets hastighet är i negativ riktning)

${\displaystyle V_{\text{e}}=V-v_{\text{e}}}$

Löser vi detta får vi:

${\displaystyle P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{\text{e}}\Delta m\,}$

och, genom att skriva ${\displaystyle dm=-\Delta m}$, eftersom att skjuta ut en positiv ${\displaystyle \Delta m}$ resulterar i minskad massa,

${\displaystyle \sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$

I och med att det inte finns några externa krafter har vi ${\displaystyle \sum F_{i}=0}$ (Bevarande av rörelsemänd) och

${\displaystyle m{\frac {dV}{dt}}=-v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}}$

Om vi antar att ${\displaystyle v_{\text{e}}\,}$är konstant, så kan uttrycket ovan integreras:

${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

där ${\displaystyle m_{0}}$ är den initiala massan, bränslet inkluderat, ${\displaystyle m_{1}}$är den slutgiltiga massan och ${\displaystyle v_{\text{e}}}$är hastigheten av det förbrända bränslet ur raketens perspektiv.