Вагова функція

Вагова функція — спеціальна математична конструкція, яка використовується при підсумовуванні, інтегруванні чи усередненні, щоб надати більшої «ваги» певним елементам в кінцевому результаті порівняно з іншими елементами[1]. Потреба у введені таких функцій часто виникає в статистиці та математичному аналізі. Поняття вагової функції тісно пов'язане з теорією міри. Вагові функції можуть використовуватись як із дискретними, так і з неперервними величинами.

Дискретний випадок

[ред. | ред. код]

Дискретна вагова функція  — невід'ємна функція, визначена на дискретній множині значень , яка зазвичай скінченна або зліченна. Одинична вагова функція відповідає звичайному, незваженому випадку, коли всі елементи мають однакову вагу.

Нехай задано деякий набір дійсних значень, які занумеровані елементами множини :

Тоді звичайна незважена сума елементів по множині визначається як

У зваженій сумі з вагою , ми кожному елементу надаємо відповідну вагу , домножуючи його на значення ваги, і тоді зважена сума визначається таким чином:

Незваженим середнім значенням по скінченній множині називається сума вигляду

,

де  — потужність множини , тобто кількість її елементів.

У зваженому середньому потужність замінюють на зважену потужність, суму ваг всіх елементів

Зважене середнє арифметичне у такому випадку визначається як

Застосування

[ред. | ред. код]

Термін вагова функція виник з механіки: при обчисленні цента мас системи з точкових тіл з масами , центри мас яких розміщенні в точках з координатами центр мас системи буде розміщений в точці з координатами

,

яку можна інтерпретувати як середнє зважене координат .

Найпоширеніші області застосування зважених сум — чисельне інтегрування та цифрова фільтрація сигналів.

Зважені суми використовуються у задачах багатокритеріальної оптимізації для переходу від декількох часткових критеріїв оптимальності до єдиного інтегрального критерію, який часто є зваженою сумою часткових критеріїв[2].

Також широко застосовуються у економіко-математичних методах аналізу даних та задачах машинного навчання.

Зважене середнє часто використовується у статистиці для компенсації похибок в оцінках. Нехай, для істинного значення , отримано незалежно один від одного декілька значень з дисперсіями , тоді найкраще наближення істинного значення отримуємо як середнє зважене часткових результатів з вагами : дисперсія так отриманого наближення буде меншою за кожну з часткових дисперсій . Також застосовується в методі максимальної правдоподібності.

Неперервний випадок

[ред. | ред. код]

У випадку неперервних величин, вагова функція — міра задана в деякій області . Міру, в певному сенсі, можна вважати узагальненням поняття вагової функції.

У випадку якщо є підмножиною евклідового простору , то під розуміють міру Лебега на , а  — невід'ємна функція. В даному контексті вагова функція часто розуміється як густина.

Нехай  — дійснозначна функція, то окрім незваженого інтеграла

можна розглядати зважений інтеграл

Оскільки за означенням інтеграл

виступає як об'єм множини , то можна ввести поняття зваженого об'єму

та, відповідно, зваженого середнього значення функції по множині :

Введення вагової функції дозволяє узагальнити поняття інтеграла, як границі відповідної зваженої суми. Такі узагальнення інтеграла часто використовують у статистиці, теорії випадкових процесів, теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У випадку, коли міра є дискретною, ми отримуємо попередній дискретний випадок — всі інтеграли замінюються підсумовуванням.

Скалярний добуток

[ред. | ред. код]

Нехай та  — дві задані функції. Тоді крім звичайного скалярного добутку

можна розглядати зважений скалярний добуток[3]

Прикладами зважених ортогональних функцій (у просторі ) є ортогональні поліноми і пов'язані з ними функції, а також ряд інших спеціальних функцій.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Архівована копія. Архів оригіналу за 28 березня 2020. Процитовано 28 березня 2020.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
  2. Архівована копія. Архів оригіналу за 28 березня 2020. Процитовано 28 березня 2020.{{cite web}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title (посилання)
  3. Бейтмен, 1974, с. 156.

Література

[ред. | ред. код]
  • Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М. : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 662.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.

Посилання

[ред. | ред. код]