Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.
Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.
- Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
- Для довільного кардинального числа
існує вільна абелева група рангу
. - Нехай
— вільна абелева група і
— абелева група. Якщо існує епіморфізм
, то існує підгрупа
групи
ізоморфна групі
така, що
. - Будь-яка абелева група
гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група
має множину генераторів потужності
то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу
. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи. - Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.
У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай
— вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа
цієї групи є вільною абелевою групою рангу
і можна вибрати такий базис
групи
і натуральні числа
що
- Множина
є базисом підгрупи ![{\displaystyle \ H;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3043b8c964a41cb3962730a4381a21126e7a6461)
ділиться на
для всіх ![{\displaystyle i=2,\ldots ,s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b666c1fff1a4aa2430b1a6167f9a7cd427275bd6)
Якщо
є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і
є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису
і елемента
у єдиний спосіб можна записати
де всі
є цілими числами.
Нехай тепер
є підгрупою групи
і
є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента
через будь-який базис
групи
. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:
![{\textstyle h=mx_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots a_{n}x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff6e0d28c3b50c0c96f0a0c191409a73d90c3e2)
Також
для ![{\displaystyle i\in \{2,\ldots ,n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef2e517045c82b6900fb8c4532fc2d4daf73f81)
Якщо позначити
то
є базисом групи
і
![{\textstyle h=my_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots r_{n}x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0c948597433800fd7dc9843393ddc1852299e9)
Згідно вибору числа
тоді всі
і
Нехай тепер
позначає циклічну групу породжену елементом
і
є підгрупою
елементи якої записуються як комбінації елементів
базису. Тоді
Оскільки
є базисом групи
, то довільний елемент
є рівним
![{\textstyle k=b_{1}y_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed2e483e339376cdf47b26fb3bc41bee4e5f95f)
Елемент
Якщо
для
то елемент
записується через базис
як
![{\displaystyle k-dh=ry_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b0af6d4e39a52efd9fe185c7c4012a20ea7ba8)
і тому
і відповідно
а тому
Відповідно кожен елемент
є рівним сумі
, де
і
Група
— підгрупа
породжена елементами
базису є вільною групою рангу n - 1 і
є підгрупою у
. Згідно припущення індукції
є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис
групи
і числа
що
є базисом групи
і
ділиться на
для всіх
Тоді
є базисом групи
, а
є базисом групи
Також
ділить
. Справді, якщо
, для
то у базисі
елемент
записується як
Із мінімальності
випливає, що
і
Відповідно базис
групи
і числа
(для яких
є базисом) задовільняють умови твердження.
- Група
цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин
. - Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина
.