Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.
Нехай задано ймовірнісний простір
і послідовність подій
. Позначимо
.
Тоді якщо ряд
є збіжним, то
.
Спершу зазначимо, що
. Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:
.
Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.
Якщо всі події
сумісно незалежні, і ряд
є розбіжним, то
.
Достатньо довести, що для всіх k виконується:
![{\displaystyle P\left(\bigcup \limits _{n=k}^{\infty }A_{n}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f877fa1e3aa299a089a675259faf9027a596c5)
Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.
Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k
Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо
![{\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)=\prod \limits _{n=k}^{m}P(A_{n}^{c})=\prod _{n=k}^{m}\left(1-P\left(A_{n}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300a5d9136b1a622fa06d3a4a4ecab956950e22b)
Зважаючи, що
маємо
![{\displaystyle \prod _{n=k}^{m}\left(1-P\left(A_{n}\right)\right)\leq \prod _{n=k}^{m}e^{-P(A_{n})}=\exp(-\sum \limits _{n=k}^{m}P(A_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c4eac278e9dfbd5efed61dffc51a36e51d4fc9)
Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при
тому:
![{\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796c5113bcac51afcc6b8fd434fd3e6fbc3d0fe1)
Однак виконується
![{\displaystyle P\left(\bigcap \limits _{n=k}^{m}A_{n}^{c}\right)=P\left(\Omega \setminus \bigcup \limits _{n=k}^{m}A_{n}\right)=1-P\left(\bigcup \limits _{n=k}^{m}A_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8beb2e998c1e767aa424e5045c5cc9e37f0cb2cf)
звідки при
отримаємо бажаний результат.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 978-1-85233-781-0