Народився 26 вересня1995 року в місті Базель. Розпочинав свою кар'єру в академії футбольного клубу «Базель». З 2011 року виступав у молодіжному складі англійського «Тоттенгем Готспур»[2]. 7 квітня 2014 року Милош дебютував у першій команді лондонців, вийшовши на заміну замість Пауліньйо у матчі проти «Сандерленда» (5:1)[3].
16 жовтня 2014 року Велькович на правах тримісячної оренди перейшов в клуб Чемпіоншипу«Мідлсбро»[4]. У новій команді програв конкуренцію півзахисному дуету Грант Лідбіттер—Адам Клейтон, тому дебютував лише 6 грудня у грі проти «Міллволла» (5:1)[5] і, зігравши лише три матчі, його оренда не була продовжена в січні. Натомість 20 січня був відданий в оренду в інший клуб другого за рівнем дивізіону Англії, «Чарльтон Атлетик». У цій команді розпочав основним гравцем, але вже 7 лютого у третій грі за клуб отримав серйозну травму плеча[6], через що вибув до кінця сезону і за клуб більше не грав.
31 січня 2016 року Велькович перейшов у німецький «Вердер», з яким уклав контракт на три з половиною роки. Сума трансферу склала 300 тис. євро[7]. У першому сезоні залучався до матчів першої команди вкрай нерегулярно, але з наступного сезону став стабільним гравцем першої команди. Станом на 31 травня 2018 року відіграв за бременський клуб 59 матчів в національному чемпіонаті.
Народившись у Швейцарії, Милош сперва розпочав виступати за юнацьку збірну Швейцарії до 16 років, але з 2012 року вирішив виступати за юнацьку збірну своєї історичної батьківщини — Сербії. У складі команди до 19 років він взяв участь у юнацькому чемпіонаті Європи 2013 року у Литві, де взяв участь у всіх п'яти матчах своєї команди. У підсумку, серби стали чемпіонами Європи і Милош був нагороджений золотою медаллю турніру.
↑Један тим, срцем свим – Младен Крстајић одабрао [One team, with all their hearts – Mladen Krstajić selects]. FSS.rs (Serbian) . Football Association of Serbia. 24 травня 2018. Архів оригіналу за 7 червня 2019. Процитовано 24 травня 2018.