Модулярна форма — голоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині
), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.
Нехай
— квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого
визначимо функцію
. Також позначимо:
![{\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} ):a\equiv 1,b\equiv 0,c\equiv 0,d\equiv 1,{\pmod {N}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f17ced523cb171ca9a171d8204b020ffe877b6d)
Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення
. Довільна група
називається конгруентною. Нехай
— деякий елемент конгруентної групи. Якщо
(де
— слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка
називається параболічною, якщо існує параболічний елемент
, такий що
.
Нехай
— деяка конгруентна група. Функція f визначена на
називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи
, якщо виконуються умови:
;
— голоморфна в
;
голоморфна в параболічних точках групи
.
Нехай
— деяка конгруентна група. Функція f визначена на
називається модулярною функцією для групи
, якщо виконуються умови:
є інваріантною щодо дії групи
, тобто
;
— мероморфна в
;
— мероморфна в параболічних точках групи
.
Випадок групи ![{\displaystyle \Gamma (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913aa9ced85eabe826a3088e433dc76d446d10ad)
[ред. | ред. код] Модулярна група
породжується двома матрицями
і
. Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов
і
. Параболічними точками даної групи є точки
і всі вони є еквівалентними, тобто
існує такий
, що
. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти
. Завдяки властивості
функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через
.
Оскільки
на всій комплексній площині не рівний нулю то також
але,
коли
(по від'ємній дійсній осі), отже
коли
, тобто коли
(по додатній уявній осі).
Функція є мероморфною в безмежності якщо:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}\exp(2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ac5a33c37f7e303e947cfae11d8f8b6b301275)
на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти
— коефіцієнти Фур'є функції
, Якщо
при
на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.
Для
модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в
. Тут ґратка - це підгрупа
в
, породжена двома числами
,
, які утворюють базу
над
. Однорідність F означає, що існує ціле
, таке, що
для всіх
і всіх ґраток
. Досить обмежитись парною вагою k, інакше
. За допомогою гомотетії
можна зробити, щоб
, а
було параметром ґратки. Функція
,
має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі
. З обмеженості випливає, що
при
і
при
.
Якщо
— деяка підгрупа зі скінченним індексом групи
, то множина параболічних точок теж рівна
, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки
стабілізатор породжується деякою матрицею
. Оскільки f(z) інваріантна відносно
, то
. Тому якщо визначити
то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.
функція є мероморфною в безмежності якщо:
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb9c95ce4e7422d3cf8f3e2ca3fd37ba64e92fe)
на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти
— коефіцієнти Фур'є функції
, Якщо
при
на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.
Якщо точка
не є еквівалентна безмежності в групі
, тоді можна знайти такий
, що
. Тоді функція
є інваріантною щодо групи
. Тоді
буде голоморфною (мероморфною) в точці
, якщо
буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.
Для
говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня
утворюють скінченновимірний простір
(нульовий при
) і градуйована алгебра
скінченнопороджена над
. Наприклад,
для непарних k, а для парних k
при
і
інакше. Більш загально, якщо
- дискретна підгрупа
, і
має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми
), то
для всіх
. Зокрема, для підгрупи, що містить -1,
, скінченного індексу r,
.
- Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги
, що визначаються для парного
:
![{\displaystyle G_{k}(\tau )={\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b8143cd1ee6eca3bab1c7b673e58e4592b3820)
де
.
— модулярні інваріанти,
— модулярний дискримінант.
Визначимо також:
— основний модулярний інваріант (j-інваріант).
Виконуються рівності:
![{\displaystyle g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{-1})=\tau ^{4}g_{2}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cf15594bfabc2677a96042b8ac5ecd42e1b292)
![{\displaystyle \Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{-1})=\tau ^{12}\Delta (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34d9f42e93b74c3d271fdc0ff7ad44e5d7e9c04)
Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто
— модулярна форма ваги 4,
— модулярна форма ваги 12. Відповідно
— модулярна форма ваги 12, а
— модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.
При дії групи
з вагою
на голоморфних функціях
,
,
,
![{\displaystyle (f|_{k}\gamma )(\tau )=(c\tau +d)^{-k}f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce4ffb83644dfde167c1b27c1a92adc6a41e384)
стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з
,
. При дії
цей стабілізатор є
. Множина класів суміжності
перебуває в бієкції з
нсд
. Ряд Айзенштайна
![{\displaystyle E_{k}(\tau )=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma (1)}1|_{k}\gamma ={\frac {1}{2}}\sum _{c,d\in \mathbb {Z} }^{(c,d)=1}{\frac {1}{(c\tau +d)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274309641ca0b8b47a93be55fbd54fc4e73d35fd)
абсолютно збігається при
і є нерухомою точкою дії
, тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце
.
Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як
,
. Звуження її на ґратки
,
, дає модулярну форму ваги k рівня 1
![{\displaystyle G_{k}(\tau )={\frac {1}{2}}\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }^{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m\tau +n)^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c59660d851590014cda590187968cbcb12ceb3d)
втім,
. Використовуючи ще одну нормалізацію
, знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від
:
, де
— число Бернуллі і
.
Нехай
— тета-функція Якобі,
. Тоді
— модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого
як суми квадратів двох цілих чисел є
. З того, що
- модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого
як суми квадратів чотирьох цілих чисел є
. Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму
,
, де
- симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд
![{\displaystyle \Theta _{Q}(\tau )=\sum _{x_{1},\dots ,x_{m}\in \mathbb {Z} }q^{Q(x_{1},\dots ,x_{m})}=\sum _{n=0}^{\infty }R_{Q}(n)q^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1935796fa1ebe36cbe77d04aa1ddbed974da3897)
де
і
. Нехай N — найменше додатне ціле, таке, що
має парні діагональні елементи. Тоді для
,
, функція
є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для
,
є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки
(
) або ґратки Лича (
).
На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке
,
. Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки
в суму
, де
пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток
індексу m ототожнюється з множиною
, де
- множина матриць
з визначником m. Тому
![{\displaystyle T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{\gamma \in \Gamma (1)\backslash {\mathcal {M}}_{m}}(c\tau +d)^{-k}f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25070ca810a813d1308f4a11ca66a95cc12e4a9a)
За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці
з
,
. Тому
![{\displaystyle T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{ad=m}^{d>0}d^{-k}\sum _{b{\pmod {d}}}f((a\tau +b)/d).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58567cc269d912928942e53f111e2b607b5c13a)
Всі оператори
комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож
має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою
для
і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують
і
,
. З кожною модулярною формою
ваги k пов'язується ряд Діріхле
. Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то
![{\displaystyle L(f,s)=\prod 1/(1-a_{p}p^{-s}+p^{k-1-2s}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6014d202a522148307eb24582a35539974d215b1)
де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з
ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню
, де
- теж ціла функція.
З гіпотези Шимури — Таніями — Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над
може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для
не існує додатних цілих a, b, c з
.
- Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
- Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
- Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
- D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
- Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
- Енциклопедія Сучасної України