Надбудова (топологія)

У топології, надбудовою над топологічним простором X називається топологічний простір SX, що є фактором добутку ${\displaystyle X\times [0,1]}$ по відношенню еквівалентності ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0),\quad (x,1)\sim (x',1)}$:

${\displaystyle SX=(X\times [0,1])/\{\forall x_{1},x_{2}\in X\quad (x_{1},0)\sim (x_{2},0),\quad (x_{1},1)\sim (x_{2},1)\}}$

Надбудову можна уявляти як циліндр над простором X, у якому ототожнили в точку як верхню, так і нижню межу. Також можна розглядати надбудову як об'єднання двох конусів (верхнього і нижнього) над простором X, склеєних по спільній основі.

• Надбудова над простором X гомеоморфна джойну ${\displaystyle X\star S^{0}}$ простору X і двоточкової множини («нульвимірної сфери») ${\displaystyle S^{0}}$.
• Будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ продовжується до неперервного відображення ${\displaystyle Sf:SX\to SY}$ за правилом ${\displaystyle Sf(x,t)=(f(x),t)}$.
• Гомологія надбудови є тісно пов'язаною з гомологією вихідного простору, відрізняючись (за винятком нульвимірних просторів) фактично зміщенням на одну розмірність. А саме:

${\displaystyle \forall n\geq 1,~H_{n+1}(SX)=H_{n}(X),\quad H_{0}(X)=H_{1}(SX)\oplus \mathbb {Z} ,\quad H_{0}(SX)=\mathbb {Z} .}$

Приведені гомології зміщуються рівно на одну розмірність:

${\displaystyle \forall n\geq 0,~{\tilde {H}}_{n+1}(SX)={\tilde {H}}_{n}(X),\quad {\tilde {H}}_{0}(SX)=0.}$

• Якщо топологічний простір X є CW-комплексом, то SX теж є CW-комплексом.
• S є функтором із категорії топологічних просторів у себе.

Редукованою (або зведеною) надбудовою топологічного простору з виділеною точкою (X, x₀) називається фактор-простір ${\displaystyle X\times [0,1]}$ по відношенню еквівалентності ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0)\sim (x'',1)\sim (x_{0},t)}$, де ${\displaystyle x,x',x''\in X}$ — довільні точки і ${\displaystyle t\in [0,1]}$ — будь-яке число в інтервалі.

Редукована надбудова позначається ΣX і її можна уявити як простір SX у якому лінія {x₀} × I , що сполучає верхню і нижню точки, стягується в одну точку.

• Редукована надбудова простору X є гомеоморфною смеш-добутку простору X і одиничного кола S¹ :

${\displaystyle \Sigma X=S^{1}\wedge X}$

більш загально:

${\displaystyle \Sigma ^{n}X=S^{n}\wedge X.}$

Перший гомеоморфізм одержується із композиції відображень

${\displaystyle X\times [0,1]\xrightarrow {1\times e^{2\pi it}} X\times S^{1}\xrightarrow {p} X\wedge S^{1}}$,

де ${\displaystyle e^{2\pi it}:[0,1]\to S^{1}}$ позначає стандартне відображення із одиничного відрізка на одиничне коло (що розглядається на комплексній площині), а ${\displaystyle p}$ є проєкцією із добутку ${\displaystyle X\times S^{1}}$ на фактор-простір ${\displaystyle X\wedge S^{1}=(X\times S^{1})/(X\vee S^{1}).}$

Ця композиція відображень переводить усі точки ${\displaystyle (x,0),(x',1),(x_{0},t)}$ у виділену точку смеш-добутку, отже задає відображення на редукованій надбудові. Це відображення є гомеоморфізмом.

Загальний гомеоморфізм одержується індукцією із використанням гомеоморфізмів ${\displaystyle S^{n}=S^{1}\wedge S^{n-1}}$ і асоціативності смеш-добутку, якщо лівий і середній із трьох множників є компактними і гаусдорфовими.

• Для багатьох важливих топологічних просторів, зокрема CW-комплексів, редукована надбудова є гомотопно еквівалентною звичайній.
• Σ є функтором з категорії топологічних просторів із виділеною точкою у себе. Він є спряженим зліва до функтора, що переводить топологічний простір X в його простір петель ΩX, тобто є природний ізоморфізм:

${\displaystyle {\text{Hom}}_{*}\left(\Sigma X,Y\right)\simeq {\text{Hom}}_{*}\left(X,\Omega Y\right).}$

• Джойн (топологія)
• Конус (топологія)
• Смеш-добуток

• Allen Hatcher, Algebraic topology. [Архівовано 20 лютого 2012 у WebCite] Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0