У теорії ймовірностей і статистиці обернений гамма-розподіл — це двопараметрічна сім’я неперервних розподілів ймовірностей на додатній дійсній півосі, що є розподілом оберненої до змінної, що має гамма-розподіл . Мабуть, найбільше обернений гамма-розподіл використовується в баєсівській статистиці , де такий розподіл виникає як граничний апостеріорний розподіл для невідомої дисперсії нормального розподілу , якщо використовується неінформативний апріор , і як аналітично виражений спряжений апріор у випадку інформативного апріорного розподілу.
Однак серед баєсівців прийнято розглядати альтернативну параметризацію нормального розподілу з точки зору точності, що визначається як зворотна величина дисперсії, що дозволяє використовувати гамма-розподіл безпосередньо як спряжений апріор. Інші баєсівці вважають за краще параметрізувати зворотний гамма-розподіл інакше, як масштабований обернений розподіл хі-квадрат .
Функція щільності ймовірності оберненого гамма-розподілу визначається на носії x > 0 {\displaystyle x>0}
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) ( 1 / x ) α + 1 exp ( − β / x ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)} з параметром форми α {\displaystyle \alpha } і параметром масштабу β {\displaystyle \beta } [1] . Тут Γ ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma (\cdot )} позначає гамма-функцію .
На відміну від гамма-розподілу , який містить дещо подібний експоненціальний член, β {\displaystyle \beta } є параметром масштабу, оскільки функція розподілу задовольняє умову:
f ( x ; α , β ) = f ( x / β ; α , 1 ) β {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}} Функція розподілу є регуляризованою гамма-функцією
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β x ) Γ ( α ) = Q ( α , β x ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!} де чисельник — це верхня неповна гамма-функція, а знаменник — гамма-функція . Багато математичних пакетів дозволяють безпосередньо обчислити Q {\displaystyle Q} , регуляризовану гамма-функцію.
За умови, що α > n {\displaystyle \alpha >n} , n {\displaystyle n} -й момент оберненого гамма-розподілу задається формулою[2]
E [ X n ] = β n ( α − 1 ) ⋯ ( α − n ) . {\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.} K α ( ⋅ ) {\displaystyle K_{\alpha }(\cdot )} у виразі характеристичної функції є модифікованою функціє. Бесселя 2-го роду.
Для α > 0 {\displaystyle \alpha >0} і β > 0 {\displaystyle \beta >0} ,
E [ ln ( X ) ] = ln ( β ) − ψ ( α ) {\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,} і
E [ X − 1 ] = α β , {\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,} Інформаційна ентропія обислюється наступним чином
H ( X ) = E [ − ln ( p ( X ) ) ] = E [ − α ln ( β ) + ln ( Γ ( α ) ) + ( α + 1 ) ln ( X ) + β X ] = − α ln ( β ) + ln ( Γ ( α ) ) + ( α + 1 ) ln ( β ) − ( α + 1 ) ψ ( α ) + α = α + ln ( β Γ ( α ) ) − ( α + 1 ) ψ ( α ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}} де ψ ( α ) {\displaystyle \psi (\alpha )} — дигамма функція .
Розбіжність Кульбака-Лейблера оберненої-гамми ( α p , β p ) від оберненої-гамми ( α q , β q ) така сама, як і KL-розбіжність гамма ( α p , β p ) від гамма ( α q , β q ):
D K L ( α p , β p ; α q , β q ) = E [ log ρ ( X ) π ( X ) ] = E [ log ρ ( 1 / Y ) π ( 1 / Y ) ] = E [ log ρ G ( Y ) π G ( Y ) ] , {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}
де ρ , π {\displaystyle \rho ,\pi } є щільностями обернених гамма-розподілів та ρ G , π G {\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}} є щільностями гамма-розподілів, Y {\displaystyle Y} має Гамма( α p , β p ) розподіл.
D K L ( α p , β p ; α q , β q ) = ( α p − α q ) ψ ( α p ) − log Γ ( α p ) + log Γ ( α q ) + α q ( log β p − log β q ) + α p β q − β p β p . {\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}} Якщо X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )} тоді k X ∼ Inv-Gamma ( α , k β ) {\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,} Якщо X ∼ Inv-Gamma ( α , 1 2 ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})} тоді X ∼ Inv- χ 2 ( 2 α ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,} (обернений хі-квадрат розподіл) Якщо X ∼ Inv-Gamma ( α 2 , 1 2 ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})} тоді X ∼ Scaled Inv- χ 2 ( α , 1 α ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,} (масштабований обернений хі-квадрат <a href="./Обернений розподіл хі-квадрат" rel="mw:WikiLink" data-linkid="164" data-cx="{"adapted":false,"sourceTitle":{"title":"Inverse-chi-squared distribution","thumbnail":{"source":"https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/5a/Inverse_chi_squared_density.png/62px-Inverse_chi_squared_density.png","width":62,"height":80},"description":"Probability distribution","pageprops":{"wikibase_item":"Q3258519"},"pagelanguage":"en"},"targetFrom":"mt"}" class="cx-link" id="mwhQ" title="Обернений розподіл хі-квадрат">розподіл</a>) Якщо X ∼ Inv-Gamma ( 1 2 , c 2 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})} тоді X ∼ Levy ( 0 , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,} (розподіл Леві ) Якщо X ∼ Inv-Gamma ( 1 , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)} тоді 1 X ∼ Exp ( c ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,} (експоненційний розподіл ) Якщо X ∼ Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,} ( Гамма-розподіл з параметром темпу β {\displaystyle \beta } ) тоді 1 X ∼ Inv-Gamma ( α , β ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,} (Деталі див. виведення в наступному абзаці) Зверніть увагу, що якщо X ∼ Gamma ( k , θ ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )} (Гамма-розподіл з параметром масштабу θ {\displaystyle \theta } ) тоді 1 / X ∼ Inv-Gamma ( k , θ ) {\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )} Обернений гамма-розподіл є окремим випадком розподілу Пірсона 5го типу Багатовимірним узагальненням оберненого гамма-розподілу є обернений розподіл Вішарта. Про розподіл суми незалежних обернених гамма-змінних див. Witkovsky (2001) Нехай X ∼ Gamma ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )} , і нагадаємо, що щільність гамма-розподілу
f X ( x ) = β α Γ ( α ) x α − 1 e − β x {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}} , x > 0 {\displaystyle x>0} . Враховуючи, що β {\displaystyle \beta } – параметр темпу змін в гамма-розподілі.
Визначимо перетворення Y = g ( X ) = 1 X {\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}} . Далі щільність Y {\displaystyle Y} записується
f Y ( y ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | d d y g − 1 ( y ) | = β α Γ ( α ) ( 1 y ) α − 1 exp ( − β y ) 1 y 2 = β α Γ ( α ) ( 1 y ) α + 1 exp ( − β y ) = β α Γ ( α ) ( y ) − α − 1 exp ( − β y ) {\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}} Зауважте, що β {\displaystyle \beta } – параметр масштабу для оберненого гамма-розподілу.
Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer. Witkovsky, V. (2001). Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables. Kybernetika . 37 (1): 79—90. MR 1825758 . Zbl 1263.62022 . Дискретні одновимірні зі скінченним носієм Дискретні одновимірні з нескінченним носієм Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій Неперервні одновимірні з носієм змінного типу Змішані неперервно-дискретні одновимірні Багатовимірні (спільні) Напрямкові Вироджені та сингулярні [en] Сімейства