Функція f ( x ) = x 2 + sign x {\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} x} має лівосторонню границю − 1 , {\displaystyle -1,} правосторонню границю + 1 , {\displaystyle +1,} і значення функції, рівне 0 {\displaystyle 0} , у точці x = 0. {\displaystyle x=0.} Одностороння границя в математичному аналізі — границя функції дійсної змінної, яка передбачає прямування до граничної точки тільки з одного боку — зліва або справа. Такі границі називають відповідно лівосторонньою границею (або лівою границею ) та правосторонньою границею (або правою границею ).
Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне .
Нехай A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } , причому A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \emptyset } , і x 0 {\displaystyle x_{0}} — гранична точка множини A {\displaystyle A} . У подальшому будемо розглядати функції f : A → R {\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} } .
Означення правосторонньої границі
Нехай x 0 {\displaystyle x_{0}} така гранична точка множини A {\displaystyle A} , що існує γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} таке, що ( x 0 , x 0 + γ ) ⊂ A {\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A} . Число a {\displaystyle a} називається правосторонньою границею функції f {\displaystyle f} в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} , якщо для довільного додатного ε {\displaystyle \varepsilon } існує додатне число δ {\displaystyle \delta } таке, що для довільного x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) {\displaystyle x\in (x_{0},x_{0}+\delta )} виконується | f ( x ) − a | < ε {\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon } . Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:
lim x → x 0 + f ( x ) , lim x → x 0 + 0 f ( x ) , lim x ↓ x 0 f ( x ) , lim x ↘ x 0 f ( x ) ; {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);} Означення лівосторонньої границі
Нехай x 0 {\displaystyle x_{0}} така гранична точка множини A {\displaystyle A} , що існує γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} таке, що ( x 0 − γ , x 0 ) ⊂ A {\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A} . Число a {\displaystyle a} називається лівосторонньою границею функції f {\displaystyle f} в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} , якщо для довільного додатного ε {\displaystyle \varepsilon } існує додатне число δ {\displaystyle \delta } таке, що для довільного x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) {\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})} виконується | f ( x ) − a | < ε {\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon } . Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:
lim x → x 0 − f ( x ) , lim x → x 0 − 0 f ( x ) , lim x ↑ x 0 f ( x ) , lim x ↗ x 0 f ( x ) . {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).} Використовуються також наступні скорочення:
f ( x 0 + ) {\displaystyle f\left(x_{0}+\right)} і f ( x 0 + 0 ) {\displaystyle f\left(x_{0}+0\right)} для правої границі; f ( x 0 − ) {\displaystyle f\left(x_{0}-\right)} і f ( x 0 − 0 ) {\displaystyle f\left(x_{0}-0\right)} для лівої границі. Означення правосторонньої границі
Нехай x 0 {\displaystyle x_{0}} така гранична точка множини A {\displaystyle A} , що існує γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} таке, що ( x 0 , x 0 + γ ) ⊂ A {\displaystyle (x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A} . Число p {\displaystyle p} називається правосторонньою границею фунції f {\displaystyle f} в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} , якщо для будь-якої послідовності { a n } n = 0 + ∞ ⊂ A {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A} , a n > x 0 {\displaystyle a_{n}>x_{0}} при n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , що збігається до числа x 0 {\displaystyle x_{0}} , відповідна послідовність значень функції { f ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} збіжна і має границею одне і теж саме число p {\displaystyle p} . Означення лівосторонньої границі
Нехай x 0 {\displaystyle x_{0}} така гранична точка множини A {\displaystyle A} , що існує γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} таке, що ( x 0 − γ , x 0 ) ⊂ A {\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A} . Число p {\displaystyle p} називається правосторонньою границею фунції f {\displaystyle f} в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} , якщо для будь-якої послідовності { a n } n = 0 + ∞ ⊂ A {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=0}^{+\infty }\subset A} , a n < x 0 {\displaystyle a_{n}<x_{0}} при n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , що збігається до числа x 0 {\displaystyle x_{0}} , відповідна послідовність значень функції { f ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} збіжна і має границею одне і теж саме число p {\displaystyle p} . Якщо обидві односторонні границі існують в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} та рівні в ній, то можна показати, що lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)} . Якщо односторонні границі існують в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} , але не рівні, то границі в точці x 0 {\displaystyle x_{0}} не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.
Приклад 1: Лівою та правою границями функції g ( x ) = − 1 x {\displaystyle g(x)=-{\frac {1}{x}}} при x → 0 {\displaystyle x\to 0} є
lim x → 0 − − 1 / x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty } та lim x → 0 + − 1 / x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty .} Причина, чому lim x → 0 − − 1 / x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}=+\infty } , в тому, що x {\displaystyle x} від'ємний при x → 0 − {\displaystyle x\to 0-} , що в цьому випадку означає, що − 1 / x {\displaystyle -1/x} додатня, тому lim x → 0 − − 1 / x {\displaystyle \lim _{x\to 0-}{-1/x}} розходиться до + ∞ {\displaystyle +\infty } .
Аналогічно, lim x → 0 + − 1 / x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}=-\infty } , бо x {\displaystyle x} додатній при x → 0 + {\displaystyle x\to 0+} , що в цьому випадку означає, що − 1 / x {\displaystyle -1/x} від'ємна, тому lim x → 0 + − 1 / x {\displaystyle \lim _{x\to 0+}{-1/x}} розходиться до − ∞ . {\displaystyle -\infty .}
Графік функції 1 / ( 1 + 2 − 1 / x ) . {\displaystyle 1/(1+2^{-1/x}).} Приклад 2: Одним із прикладів функцій з різними односторонніми границями є f ( x ) = 1 1 + 2 − 1 / x , {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},} для якої ліва границя дорівнює lim x → 0 − f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)=0} , а права границя — lim x → 0 + f ( x ) = 1. {\displaystyle \lim _{x\to 0+}f(x)=1.}
Використовуючи попередній приклад, отримуємо:
lim x → 0 − 2 − 1 / x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0-}2^{-1/x}=+\infty } та lim x → 0 + 2 − 1 / x = 0. {\displaystyle \lim _{x\to 0+}2^{-1/x}=0.} Тому
lim x → 0 + 1 1 + 2 − 1 / x = 1 1 + lim x → 0 + 2 − 1 / x = 1 1 + 0 = 1 , {\displaystyle \lim _{x\to 0+}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1,} а lim x → 0 − 1 1 + 2 − 1 / x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0} , бо знаменник прямує до нескінченності, тобто lim x → 0 − ( 1 + 2 − 1 / x ) = + ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0-}(1+2^{-1/x})=+\infty .}
Отже, lim x → 0 − f ( x ) ≠ lim x → 0 + f ( x ) , {\displaystyle \lim _{x\to 0-}f(x)\neq \lim _{x\to 0+}f(x),} а границі lim x → 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)} не існує.