Просте число Віферіха

В теорії чисел простим числом Віферіха називається просте число ${\displaystyle p}$, таке, що ${\displaystyle p^{2}}$ ділить ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$ ^[1], що є посиленням твердждення малої теореми Ферма, яка стверджує, що будь-яке непарне просте ${\displaystyle p}$ ділить ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$. Ці прості числа вперше описані Артуром Віферіхом^[en] (нім. Arthur Wieferich).

Незважаючи на численні пошуки, донині відомо лише про 2 простих числа Віферіха — це 1093 та 3511 (послідовність A001220 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Посилений варіянт малої теореми Ферма, якій задовільняють прості числа Віферіха, зазвичай записується у вигляді порівняння по модулю ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$. Із визначення порівняння випливає, що ця властивість еквивалентна визначенню, що наведено на початку статті. Таким чином, якщо просте p задовільняє порівнянню, це просте ділить частку Ферма ${\displaystyle {\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}}$.

Наведемо два приклади:

Для p = 11 ми отримуємо ${\displaystyle {\tfrac {2^{10}-1}{11}}}$, що дає число 93, яке має залишок від ділення на 11, рівний 5. Таким чином, 11 не є простим числом Віферіха.

Для p = 1093, ми отримуємо ${\displaystyle {\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}}$ або 485439490310...852893958515 (302 цифри з середини випущено) і це число дає залишок 0 при діленні на 1093, отже 1093 є простим числом Віферіха.

В 1902 році німецький математик Франц Мейєр (Wilhelm Franz Meyer) довів теорему про розв'язок конгруєнції a^{p − 1} ≡ 1 (mod p^r).^[2]:930[3] Десятиріччям пізніше Артур Віферіх (нім. Arthur Wieferich) в 1909 році в праці, що стосується великої теореми Ферма, у якій він довів, що якщо перша частина останньої теореми Ферма не виконується для деякої експоненти ${\displaystyle p}$, тоді ${\displaystyle p}$ задовільняє умові ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$ для ${\displaystyle a=2}$. Іншими словами, якщо існує розв'язок рівняння x^p + y^p + z^p = 0 в цілих числах, x, y, z та p є непарними простими, такими, що p ∤ xyz, тоді p задовільняє умові 2^{p − 1} ≡ 1 (mod p²).

Перше просте Віферіха, число 1093, було знайдене В. Мейснером (Waldemar Meissner) в 1913 році і підтверджено, що це єдине просте Віферіха серед чисел менших за 2000.

Друге просте, число 3511, було віднайдено Біґером (N. G. W. H. Beeger) в 1922 році.

В 2007–2016 роках пошук простих Віферіха виконувався проєктом розподілених обчислень Wieferich@Home. В 2011–2017 роках інший пошук був організований проєктом PrimeGrid. Нажаль пізніше робота, виконана в цьому проекті, була визнана марною. Хоча ці проекти досягли меж пошуку понад 10¹⁷, жоден із них не повідомив про результати, яким можна довіряти.

В листопаді 2020 року PrimeGrid розпочав новий проєкт з одночасним пошуком простих Віферіха та Волла-Суня-Суня. Новий проєкт використовує чексуми для незалежної подвійної перевірки кожного інтервалу, що мінімізує ризик пропуску простого через збої обладнання. Станом на серпень 2022 року PrimeGrid дійшов до межі у 14,4⋅10¹⁸ та продовжує пошук майже простих Віферіха.

Просте число p, що задовільняє рівнянню ${\displaystyle 2^{p-1 \over 2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}}$ для малих значень ${\displaystyle \mid A\mid }$, називається майже простим Віферіха (послідовність A195988 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

• Weisstein, Eric W. Wieferich prime(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Fermat-/Euler-quotients (a^p−1 − 1)/p^k with arbitrary k
• A note on the two known Wieferich primes
• PrimeGrid's Wieferich Prime Search project page

• Просте число Волла-Суня-Суня
• PrimeGrid