Підпослідовність

Підпослідовністю ${\displaystyle \left\{x_{n_{k}}\right\}}$ називається послідовність, складена з елементів послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ і в якій порядок слідування її елементів збігається з порядком слідування елементів у початковій послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$.
Іншими словами, візьмемо деяку послідовність ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$, ... . Візьмемо другу довільну строго зростаючу послідовність натуральних чисел ${\displaystyle k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots <k_{n}<\ldots }$. Виберемо із послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ елементи з номерами ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$, ${\displaystyle k_{3}}$, ..., ${\displaystyle k_{n}}$, ... і розташуємо їх в такому ж порядку як і числа ${\displaystyle k_{n}}$, тоді отримаємо: ${\displaystyle x_{k_{1}}}$, ${\displaystyle x_{k_{2}}}$, ${\displaystyle x_{k_{3}}}$, ..., ${\displaystyle x_{k_{n}}}$, ... . Це і буде підпослідовність ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ послідовності ${\displaystyle x_{n}}$.

• Будь-яка підпослідовність збіжної послідовності збігається до тієї ж границі.
• Множина часткових границь послідовності - замкнена.
• З будь-якої послідовності можна виділити монотонну підпослідовність.
• З обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (листопад 2016)