Піфагорова четвірка

Піфагорова четвірка — кортеж цілих чисел ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ таких, що ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$, при цьому d > 0. Піфагорова четвірка ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ визначає прямокутний паралелепіпед із довжинами сторін |a|, |b| та |c|, діагональ якого має довжину d. Піфагорові четвірки також називають піфагоровими блоками^[1].

Параметризація простих четвірок[ред. | ред. код]

Множина простих піфагорових четвірок, тобто тих, для яких НСД(a,b,c) = 1, має параметризацію^[2][3][4]

${\displaystyle a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},}$

${\displaystyle b=2(mq+np),}$

${\displaystyle c=2(nq-mp),}$

${\displaystyle d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},}$

де m, n, p, q — натуральні цілі, НСД(m,n,p,q) = 1 і m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Таким чином, усі прості піфагорові четвірки описує тотожність Лебега^[5]

${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$

Альтернативна параметризація[ред. | ред. код]

Всі піфагорові четвірки (включно з непростими та з повтореннями) можна отримати з двох натуральних чисел a і b в такий спосіб: Якщо ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ мають різну парність, візьмемо будь-який множник p числа ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ такий, що ${\displaystyle p^{2}<a^{2}+b^{2}}$. Тоді ${\displaystyle c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)}$ і ${\displaystyle d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).}$ Зауважимо, що ${\displaystyle p={d-c}.}$

Схожий метод існує^[6] для ${\displaystyle a,b}$ парних з додатковим обмеженням, що ${\displaystyle 2p}$ має бути парним дільником числа ${\displaystyle a^{2}+b^{2}.}$ Такого методу немає для випадку, коли обидва числа a і b непарні.

Властивості[ред. | ред. код]

Найбільше число, яке завжди ділить добуток abcd, дорівнює 12^[7]. Четвірка з найменшим добутком — (1, 2, 2, 3).

Зв'язок з кватерніонами та раціональними ортогональними матрицями[ред. | ред. код]

Проста піфагорова четвірка ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, параметризована за допомогою ${\displaystyle (m,n,p,q)}$, відповідає першому стовпцю матричного подання ${\displaystyle E(\alpha )}$ спряження ${\displaystyle \alpha (\cdot ){\overline {\alpha }}}$ за допомогою кватерніона Гурвіца ${\displaystyle \alpha =m+ni+pj+qk}$, звуженого до підпростору ${\displaystyle \mathbb {H} }$, натягнутого на ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$

де стовпці попарно ортогональні і кожен має норму d. Більш того, ${\displaystyle {\frac {1}{d}}E(\alpha )}$ ${\displaystyle \in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )}$, і фактично всі 3 × 3 ортогональні матриці з раціональними коефіцієнтами з'являються в такий спосіб^[8].

Піфагорові четвірки з нормою d<30[ред. | ред. код]

Кубічні піфагорові четвірки[ред. | ред. код]

Існує окремий тип кубічних піфагорових четвірок (англ. Pythagorean cubic quadruples), тобто таких наборів натуральних чисел ${\displaystyle (a,b,c,d)}$, які задовольняють рівняння^[9]:

${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=d^{3}}$

Кубчні піфагорові четвірки можна згенерувати за допомогою спеціальних матриць^[10]. Кубічною піфагоровою четвіркою з найменшою нормою є: ${\displaystyle a=3;b=4;c=5;d=6}$^[9]. Іншими (але не єдиними) прикладами кубічних піфагорових четвірок є^[9]:

Див. також[ред. | ред. код]

• Числа Піфагора
• Теорема де Гуа
• Кватерніони і повороти простору
• Формула Ейлера — Родрігеса для обертання в тривимірному просторі
• Гіпотеза Ейлера
• Число таксі
• Задача про чотири куби
• Рівняння Якобі — Маддена

Примітки[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

• Weisstein, Eric W. Піфагорова четвірка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Тотожність Лебега(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Carmichael. Diophantine Analysis у проєкті «Гутенберг»
• The complete parametrization derived using a Minkowskian Clifford Algebra