Тотожність (в математиці) — рівність двох виразів, яка виконується на всій множині значень змінних (рівність, що виконується для будь-яких значень змінної), наприклад,
,
,
,
,
,
,
,
, ![{\displaystyle a\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bfc70548a4d758924bb6bf3752c3e300ade6a7)
![{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4\cdot a^{3}\cdot b+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}+4\cdot a\cdot b^{3}+b^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587123c72a1be86eb7ad13836a4ad90590bc4466)
тощо.
Рівність
має місце не для будь-якого значення
, а тільки при
. Така рівність не є тотожністю; вона називається рівнянням. Тотожністю називають також рівність, що не містить змінних; наприклад:
.
Тотожність часто позначається символом «≡»
- Квадрат суми (різниці):
справедлива рівності для будь яких
.
- Різниця квадратів:
справедлива рівність для будь яких
.
- Куб суми (різниці):
справедлива рівність для будь яких
.
- Сума (різниця) кубів:
справедлива рівність для будь яких
.
- Многочлени
справедлива рівність для будь яких
.[1]
Пропорція
є тотожність при всіх значеннях
, крім
, оскільки при
знаменники дробів перетворюються в нуль, тобто дроби не мають змісту. Заміна виразу
виразом
(скоротили на
) є тотожнім перетворенням виразу
при обмеженнях:
.Отже,
=
— тотожність при всіх значеннях змінних, крім
[2].
Для будь яких
і додатних
справедливі рівності:
;
;
;
;
;
;
.
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів; логарифм частки дорівнює різниці логарифмів. Логарифм степеня
дорівнює добутку показника степеня p на логарифм самого числа х; логарифм кореня p-го степеня з числа х — логарифм числа, поділений на p.[3] У наступній таблиці перелічені ці тотожності з прикладами. Дані логарифмічні тотожності виконуються за умови, що
,
.
| Формула | Приклад |
добуток | ![{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72b4b7ba4c487ba5c15587d2eff610355605901) | |
частка | ![{\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7981f7ecdd8c824c9b6cad205a1ecd73e47e8a) | |
степінь | ![{\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e081c1847c72f5c52c0361230fc7ecf8db17986) | |
корінь | ![{\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2499a9e2a1b1e9e77ccb8dda608b297e0b943f19) | |
З означення логарифма випливає, що при
виконується рівність
. ЇЇ називають основною логарифмічною тотожністю.[4]
Прологарифмуємо за основою
, де
, обидві частини основної логарифмічної тотожності
. Отримаємо:
— формула переходу від логарифма з основою
до логарифма з основою
[5].
Гіперболічні функції задовольняють безліч тотожностей, всі вони подібні за формою до тригонометричних тотожностей. Правило Осборна[6] зазначає, що можна перетворити будь-яку тригонометричну тотожність у гіперболічну тотожність, розширивши її повністю. Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції і гіперболічні функції без залучення комплексних чисел.
![{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abefa2bc1dbcafe86c3ed3f34a02b9c7dc6e5b07)
- Парність:
![{\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7e4d9ccb8f802a08d44654bcc67ddb033963d0)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdb641a32314eaeb822bb3d3efb7bac5dafa72b)
![{\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7336ef1a7d8604c90704727c158f4857cb2b3efd)
- Формули додавання:
![{\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45357ba249418e7e9c4e31a2941f2f9d4ce3a330)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13636192e539a45389a7ea912825393fbd1aac09)
.