Формула Валліса, виведена 1655 року Джоном Валлісом, стверджує:
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a21c793e9504de11ae568d40f735792501d08d)
Валліс вивів нескінченний добуток методом порівняння визначених інтегралів
для парних і непарних n, як показано нижче. Оскільки на той час математичний аналіз, зокрема теорія збіжності, не мав достатнього розвитку і не було відомо про його зв'язок із площами фігур, дослідження вважалося складним і незавершеним. Як згодом виявилось, формула Валліса є простим наслідком формули Ейлера для синуса.
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74dce42e79aff73ee96dbfb03216bd02fc23c68)
Нехай x = π/2:
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61d472570510ebc3ec5bd40b1072a82a04b0da7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&{}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&{}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd40a193f8d5503ff8a501449adb871cadc0debd)
Нехай:
![{\displaystyle I(n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137af23fa8e3eff28e11ffff8161e8fef1665567)
![{\displaystyle u=\sin ^{n-1}x\Rightarrow du=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9532e7e2db344058eede3fe7b51758146bdc43)
![{\displaystyle dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc902436a8b203672d4a1bf7456ab204926025e)
![{\displaystyle \Rightarrow I(n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx=\int \limits _{0}^{\pi }u\,dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796fad1cb4d46a36025e904f26277f8e92a24bb4)
![{\displaystyle =uv|_{x=0}^{x=\pi }-\int \limits _{0}^{\pi }v\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7097f2d35ae2f8f17a1d1b0b8bd82ff99023a8c7)
![{\displaystyle =0-(n-1)\int \limits _{0}^{\pi }-\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\quad n>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d1f527b8a1551b2ef3e43847ec88fb74a9ca22)
![{\displaystyle =(n-1)\int \limits _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0726f72daf25804cdd6b2a4153857388d94c68a)
![{\displaystyle =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6892672a9ba8c86b836a8c236d2a9a485ab83099)
![{\displaystyle I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0059439a305b1295eed1ba8d1815f0b7cf407704)
![{\displaystyle \Rightarrow I(n)={\frac {n-1}{n}}I(n-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd5fd2e24d2ee7590e774bf7232b1f2d57b6920)
![{\displaystyle I(1)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x|_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bbdbfa5801fcd9163e8ef0b4826abe76f80a1ab)
![{\displaystyle I(0)=\int \limits _{0}^{\pi }\,dx=x|_{0}^{\pi }=\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7debcd89714c7685601e2429321f68b9f43996bb)
![{\displaystyle I(2n+1)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295c41d2c44f9496cf86f5d6b7275dc6a8dd4d82)
Повторюючи,
![{\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eda3cca37e87b58e35173f4b79c6b124a66b90c)
![{\displaystyle I(2n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcccf20f69bbcf9fbe9d9f670019e60ce271d587)
Повторюючи,
![{\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9bc4b863591db0d769e9b84733eb682f66f802)
![{\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leqslant \sin ^{2n}x\leqslant \sin ^{2n-1}x,\quad 0\leqslant x\leqslant \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b9f42dbe2f8a489ea22aaf1c6aa70398c1fcdd)
![{\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leqslant I(2n)\leqslant I(2n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb4f8ced48ab1d9db40dfc54d575c92740d732f8)
![{\displaystyle \Rightarrow 1\leqslant {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leqslant {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9804f5728ee9f2f62f88e890699f31e1cab05da)
За теоремою про три послідовності:
![{\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d284350606423ae6aba21e6b32f724853857aa)
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d2765e8c0d367700dda3ef1521390d44fc9841)
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414a124c282cbace8fd083b949eae278cefab585)