Циклотронна маса

Циклотронна маса — узагальнена маса (спільна для всього твердого тіла) носіїв струму при їх русі в магнітному полі. В загальному випадку ця маса не збігається з ефективною масою носіїв, оскільки поверхня Фермі може бути анізотропною, а ефективна маса є тензором. Циклотронну масу вимірюють за допомогою методу циклотронного резонансу або магнітотранспортних методів (ефект Шубникова — де Гааза). Знання циклотронної маси інколи допомагає визначити форму поверхні Фермі в твердому тілі.

Поверхня Фермі тривимірного кристала, наприклад кремнію, котрий є непрямозонним напівпровідником, складається з шести еліпсоїдів обертання в k-просторі. Розглянемо переріз поверхні Фермі площиною XZ такий, що в цій площині будуть знаходитися 4 витягнуті еліпси з центрами розташованими на осях на віддалі ${\displaystyle k_{0}}$. Нехай вектор магнітного поля ${\displaystyle \mathbf {B} }$ лежить в цій площині та створює кут ${\displaystyle \theta }$ з віссю Z. Анізотропний закон дисперсії для електронів має вигляд:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),}$

де введені дві різні ефективні маси ${\displaystyle m_{t}}$, ${\displaystyle m_{l}}$, які називаються відповідно повздовжною та поперечною ефективними масами. Рівняння руху частки (другий закон Ньютона) із зарядом «-e» в магнітному полі ${\displaystyle \mathbf {B} }$ при відсутності затухання

${\displaystyle \hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,}$

де ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — хвильовий вектор, а швидкість частки ${\displaystyle \mathbf {v} }$ визначається виразом:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\right).}$

Тепер розглянемо покомпонентно закон руху:

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e\hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\sin {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.}$

Нас буде цікавити тільки розв'язки виду:

${\displaystyle k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{i\omega t}.}$

Цей розв'язок існує при певній частоті, котра називається циклотронною, котра залежить від кута:

${\displaystyle \omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.}$

Тут можна визначити циклотронну масу як

${\displaystyle m_{c}=|e|B/\omega _{c}.}$

Видно, що при ${\displaystyle \theta =0}$, то ${\displaystyle m_{c}=m_{t}}$, а якщо ${\displaystyle \theta =\pi /2}$: ${\displaystyle m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}}}}$.

В загальному випадку^[3] для довільної поверхні Фермі, наприклад в металах поверхня Фермі може приймати складну форму і тому необхідно використовувати наступну формулу для циклотронної частоти

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {2\pi |e|B}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{(\partial S/\partial \varepsilon _{F})}}}$

та циклотронної маси:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}},}$ (1)

де ${\displaystyle S(\varepsilon _{F},k_{H})}$ — площа перетину  поверхні Фермі  площиною ${\displaystyle {k_{H}}=const}$, де ${\displaystyle k_{H}}$ — проєкція хвильового вектора електрону на напрямок магнітного поля, ${\displaystyle \varepsilon _{F}}$ — енергія Фермі.

Для найпростішої ізотропної параболічної зони енергію ${\displaystyle \varepsilon }$ та площу перетину ${\displaystyle S}$ можна представити у вигляді наступних функцій :

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}\ }$,

${\displaystyle {S}\left(\varepsilon _{F},{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac {2{{m}^{*}}\varepsilon _{F}}{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)}$,

де ${\displaystyle {{k}_{\bot }}}$- величина компоненти хвильового вектора, що перпендикулярна магнітному полю, ${\displaystyle m^{*}}$- ефективна маса. В цьому випадку похідна площини від енергії буде мати найпростіший вигляд :

${\displaystyle {\frac {\partial {S}}{\partial \varepsilon _{F}}}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2}}}}$.

Підставляючи отримані значення для похідної в формулу для циклотронної маси, знаходимо:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {\partial S}{\partial \varepsilon _{F}}}=m^{*}}$.

Таким чином, у випадку простої ізотропної параболічної зони ми будемо мати тотожність фізичних величин — «циклотронної маси» та «ефективної маси». Дана обставина і дозволяє в більшості випадків вимірювати ефективну масу носіїв у твердому тілі.

Двовимірний закон дисперсії графену поблизу точок Дірака задається рівнянням

${\displaystyle \varepsilon =\pm \hbar v_{F}k,}$

де ${\displaystyle \varepsilon }$ — енергія збудження, ${\displaystyle v_{F}}$ — швидкість Фермі, ${\displaystyle k}$ — абсолютна величина двовимірного хвильового вектора.

Розглянемо легований графен зі щільністю носіїв на одиницю площі, ${\displaystyle n_{s}}$ , при досить низькій температурі так, що електрони утворюють вироджене Фермі море. Тоді можна визначити «поверхню Фермі» (2D лінія — коло ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{F}}$). Після врахування спінових і долинних вироджень, відповідний хвильовий вектор Фермі ${\displaystyle k_{F}}$ дорівнює

${\displaystyle {{k}_{F}}={\frac {{\left(\pi {{n}_{s}}\right)}^{1/2}}{2\pi }}}$.

Тепер можна визначити «ефективну масу» ${\displaystyle m^{*}}$ звичайним способом (імпульс поділений на швидкість):

${\displaystyle {{m}^{*}}={\frac {\hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}\sim n_{s}^{1/2}}$.

Для того, щоб визначити циклотронну масу, у квазікласичному наближенні можна використати рівняння (1), в яке слід підставити, ${\displaystyle S(\varepsilon )}$, площу ${\displaystyle k}$- простору, що оточена орбітою енергії ε

${\displaystyle S\left(\varepsilon \right)=\pi {{k}^{2}}\left(\varepsilon \right)={\frac {\pi {{\varepsilon }^{2}}}{{{\hbar }^{2}}v_{F}^{2}}}}$,

звідки знаходимо, що ${\displaystyle m_{c}=m^{*}}$.

Енергетичний спектр 2D електронних систем у магнітному полі B, нормального до площини, є послідовність дискретних рівній Ландау. Використовуючи квазікласичне наближення квантування площі орбіти в оберненому просторі (квантування Бора-Зомерфельда),

${\displaystyle S\left({{\varepsilon }_{N}}\right)=\pi k^{2}\left({{\varepsilon }_{N}}\right)={\frac {2\pi \left|e\right|BN}{\hbar }},\quad N=0,\pm 1,...}$ ,

ми знайдемо рівні Ландау в графені

${\displaystyle {{\varepsilon }_{N}}=\pm {\sqrt {2\left|e\right|\hbar v_{F}^{2}B\left|N\right|}}}$. (2)

Якщо при ${\displaystyle \varepsilon _{N}=\varepsilon _{F}}$ переписати рівняння (2), як ${\displaystyle {{\varepsilon }_{F}}=\hbar \omega _{c}^{\left(N\right)}{\sqrt {\left|N\right|}}}$, то формула для «циклотронної частоти» має вигляд:

${\displaystyle \omega _{c}^{\left(N\right)}={{v}_{F}}{\sqrt {\frac {2\left|e\right|{{B}_{N}}}{\hbar }}}}$,

де ${\displaystyle B_{N}}$- магнітне поле, що відповідає ${\displaystyle N}$-му рівню Ландау, що збігатися з рівнем Фермі.

Цей розділ може бути плутаним чи неясним[en] для читачів. Будь ласка, допоможіть прояснити цей розділ[en]. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (Дізнайтеся, як і коли вилучати це шаблонне повідомлення[en])

В загальному випадку циклотрона швидкість записується в наступному вигляді:

${\displaystyle v_{c}=\omega _{c}\cdot r_{c}=eB\cdot {\frac {r_{c}}{m_{c}}}\ }$,

де у випадку традиційних тривимірних напівпровідників циклотронний радіус та маса визначаються як:

${\displaystyle r_{c}(Si)={\sqrt {2}}l_{B}\ }$, ${\displaystyle m_{c}(Si)=const.\ }$,

а у випадку двовимірного графена:

${\displaystyle r_{c}(Si)={\frac {l_{B}}{\sqrt {2}}}\ }$, ${\displaystyle m_{c}(C)=variable\ }$,

де ${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB}}}\ }$- магнітна довжина. Таким чином, в звичайному тривимірному напівпровіднику, в якому виконується умова постійної ефективної маси, ми будемо мати змінне значення для циклотронної швидкості (наприклад, в КЕХ):

${\displaystyle v_{c}(Si)={\sqrt {2}}\omega _{c}l_{B}=variable\ }$.

Інша справа — двовимірний графен. Оскільки ефективна маса його носіїв змінюється, то його циклотрона швидкість завжди постійна:

${\displaystyle v_{c}(C)={\frac {\omega _{c}l_{B}}{\sqrt {2}}}v_{B}=const.\ }$

Використавши це, ми можемо через неї визначити і циклотронну частоту:

${\displaystyle \omega _{c}(C)={\sqrt {2}}{\frac {v_{B}}{l_{B}}}}$

та циклотронну масу:

${\displaystyle m_{c}(C)=eB\cdot {\frac {r_{c}(C)}{v_{c}(C)}}={\frac {1}{v_{B}}}{\sqrt {\frac {eB\hbar }{2}}}}$.

Таким чином, за межами розгляду елементів зонної структури та циклотронної маси, лишилась постійна швидкість ${\displaystyle v_{B}}$. Звідки вона взялася, і який її масштаб?

Цей розділ може відбігати від теми статті. Будь ласка, допоможіть встановити доречний зв'язок його вмісту із предметом статті. Якщо вміст розділу не буде узгоджено зі статтею, його може бути переписано, об'єднано з іншою статтею або вилучено. Подробиці можуть бути на сторінці обговорення.

Найточніше значення постійної швидкості носіїв струму в графені було знайдено Діаконом та інш. в експериментах по відгуку фотопровідності на взірцях графена з декількома рівнями Ландау^[5].

Це експериментальне значення швидкості для різних рівней Ландау знаходилося в діапазоні значень:

${\displaystyle v_{B.exp}=(1.069-1.118)\cdot 10^{6}m/s}$.

Не важко помітити, що посередині цього діапазону знаходиться єдина фізична величина швидкості, яка називається борівською, оскільки визначає швидкість циклічного руху електрону на першій борівській орбіті атома Бора:

${\displaystyle v_{B}={\frac {\alpha c}{2}}=1.0938453\cdot 10^{6}m/s}$.

На сьогодні рівність цих швидкостей

${\displaystyle v_{B}=v_{B.exp}\ }$

виконується з точністю до двох процентів:

${\displaystyle \Delta =\pm 2.2\%\ }$.

Безумовно надалі точність зросте, проте на скільки, поки що не відомо.

• Циклотронний резонанс

Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed. — Chichester : John Wiley & Sons, 1997. — С. 158-159. — ISBN 0-471-92805-4.

Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва : Мир, 1986. — С. 63-64. — ISBN УДК 537.33+535.2.

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429